D1976- Une curieuse propriété [**** à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
La médiatrice d'une corde MN d'un cercle coupe ce cercle en X et Y et coupe MN en Z.P étant un point du cercle (NXZ), la droite PY recoupe ce second cercle en Q.
Montrer que le segment [MZ] est vu depuis les points P et Q sous un même angle modulo π.
Solution proposée par Dominique Roux
Soit R le symétrique de Q par rapport à MN.On veut montrer (PM,PZ) = (QZ,QM) modulo π.
Puisque (QZ,QM) = – (RZ,RM), cela revient à dire (PM,PZ) = (RM,RZ), c’est à dire M,Z,P et R sont cocycliques.
Effectuons une inversion de pôle Z, de puissance – ZM.ZN. Les points M et N sont échangés ainsi que les points X et Y. Le cercle (NXZ) est donc transformé en la droite YM. La droite YPQ est transformée en un cercle passant par Z et X.
Soient P’, Q’ et R’ les inverses respectifs de P,Q et R. P’ et Q’ sont sur la droite YM. Les points P’,Q’,X et Z sont cocycliques sur le cercle inverse de la droite YPQ et R’ est le symétrique de Q’ par rapport à la droite MN.
Montrer que M,Z,P et R sont cocycliques revient à montrer que N,P’ et R’ sont alignés.
Dans le triangle rectangle XYM, on a YX.YZ = YM². Or X,Z,P’ et Q’ sont cocycliques. Donc YX.YZ = YP’.YQ’. Donc YP’.YQ’ = YM², ce qui prouve que P’ et Q’ sont inverses dans l’inversion de pôle Y et de puissance YM².
Nous sommes donc ramenés à prouver que YP’.YQ’ = YM² ==> N,P’,R’ alignés.
Soit S le symétrique de Q’ par rapport à (XYZ). YP’.YQ’ = YM² ==> YP’/YM = YM/YQ’ = YN/YS donc MS est parallèle à P’N.
NQ’ et MS sont symétriques par rapport à (XY) donc sont également inclinées sur MN. Or NQ’ et NR’ sont symétriques par rapport à MN. Donc MS est parallèle à NR’. NP’ et NR’
étant parallèles à une même droite, il résulte N,P’ et R’ alignés. cqfd.
