Dans le cercle g, les angles (QP, QA) et (PC, PA) sont égaux, il suffit donc de prouver que (QP, QM) = (PI, PA).
Fixons les points P et Q, et cherchons l'ensemble des points M tels que (PM, PA) = (QP, QM) : les droites (mobiles) QM et PM sont liées par une relation d'égalité sur les angles qui implique que M décrit une co- nique (C). Celle-ci passe par P et Q et elle est symétrique par rapport au milieu J de PQ. Les deux cas (évidents) où les droites sont paral- lèles montrent qu'il s'agit d'une hyperbole de centre J ayant pour direc- tions d'asymptotes les bissectrices de (PQ, PA) : c'est une hyperbole équilatère.
Le problème revient à montrer que l'homothétique de (C) dans l'homo- thétie de centre P et de rapport 2 passe par le point I. Nous allons voir que cette conique homothétique de (C) n'est autre que l'hyperbole équilatère (G') passant par P et par les centres des cercles inscrit et exinscrits au triangle ABC. Comme elles passent toutes deux par P, il suffira pour cela de montrer que ces deux hyperboles ont le même centre Q et les mêmes asymptotes.
Rappel : Comme l'on sait, I est l'orthocentre du triangle déterminé par les centres des cercles exinscrits. En considérant les différents faisceaux harmoniques de la figure 2, il est facile de retrouver le fait que (par exemple) A est le pôle de la droite BC par rapport à (G'), etc.
Soit donc R le second point d'intersection de (G') avec BC et T le point d'intersection de AQ avec BC (figure 3). C étant le pôle de AB, les poins R et P sont conjugués harmoniques par rapport à B et C. Comme T est sur l'axe radical de (g) et (G), on a : TP 2 = TB.TC , et T est donc le milieu de PR, c'est-à-dire le conjugué du point à l'infini de BC par rapport à B et C. Et comme A est le pôle de BC, il s'ensuit que la droite AT est la polaire de ce point à l'infini, elle passe donc par le centre de (G'). Comme on sait par ailleurs que ce centre est sur le cercle d'Euler de A'B'C' — qui n'est autre que (G) — on vient de prou- ver que (G') et (C) ont bien le même centre Q.
Il reste à noter que, comme A est le pôle de la droite BC, la polaire du point P — c'est-à-dire la tangente à (G') en P — n'est autre que la droite AP. Et comme l'on sait que les asymptotes découpent sur la tangente un segment dont le point P est le milieu, il en résulte bien que les directions des asymptotes sont les bissectrices de (PQ, PA).
fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 4
