D2916 – De quelques chiffres merveilleux de la géométrie [**** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
On trace un triangle rectangle isocèle OAB de côtés OA = OB = a et le cercle (Γ) de centre A et de rayon AB . D’un point P situé sur la médiatrice de OA et extérieur à (Γ), on trace la droite PO qui coupe (Γ) en un point C intérieur au segment OP tel que PC = a. Enfin à partir du centre ω du cercle circonscrit au triangle AOP, on trace le rayon ωA et le point D symétrique de O par rapport à ce rayon. On désigne par α l’angle AOP
Q₁ Démontrer que le ratio α/π est un nombre rationnel.
Q₂ Par convention le rayon ωO est égal à l’unité. Calculer l’aire du triangle ADP et la somme des carrés des dimensions des côtés de ce triangle.
Solution proposée par l’auteur
Q₂ Comme AOP = 3π/7, OPA = π/7 et que D est symétrique de O par rapport à ωA, APD = π/7. D’autre part ADP = π – AOP = 4π/7. Le triangle ADP est heptagonal. Ce triangle a fait l’objet d’analyses approfondies de Victor Thébault,de Paul Bankoff et de Paul Yiu accessibles dans les documents ci- après :
Heptagonal triangles and their companions (Paul Yiu) http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf et
The heptagonal triangle (Paul Bankoff et Jack Garfunkel) http://math.fau.edu/yiu/PSRM2015/yiu/New%20Folder%20(4)/Downloaded%20Papers/0.pdf D’où les réponses : aire du triangle ADP = 7/4 et somme des carrés des dimensions des côtés de ce triangle = 7
Q₁ Soit AOP = α. D’où OPA = CPA = π – 2α. Par ailleurs AC = AB = a 2, PC = a, PA = PO = a/2cos(α)
Dans le triangle APC, la relation des cosinus donne : AP² = PC² + PA² – 2PC.PA.cos(π– 2α)
D’où 2a² = a² + a²/4cos²(α) + a²cos(2α)/cos(α). En posant cos(α) = x, on obtient l’équation du 3ème degré en x : 8x³ – 4x² – 4x + 1 = 0
Les racines de cette équation sont bien connues et valent respectivement cos(π/7), cos(3π/7) et cos(5π/7).
Voir : http://www.diophante.fr/images/stories/d143-promenade_dans_le_triangle_heptagonal-solution.pdf https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi7.html
On les retrouve dans l’équation polynomiale qui caractérise le triangle heptagonal dont les angles sont π/7, 2π/7 et 4π/7.Avec u le plus petit angle de ce triangle, on écrit sin(7u) = 0 qui devient :
64sin6(u) – 112sin4(u) + 56 sin2(u) – 7 = 0 ou encore 64cos6(u) – 80cos4(u) + 24cos2(u) – 1 = 0.
En posant x = cos(u),on a un polynôme du 6ème degré qui se factorise sous la forme:
(8x3 – 4x2 – 4x + 1).(8x3 + 4 x2 – 4x – 1)= 0 et les racines du second polynôme sont cos(2π/7), cos(4π/7) et cos(6π/7).
On vérifie que dans notre problème les angles AOP = α.= π/7 et 5π/7 ne conviennent pas, respectivement trop petit et trop grand. Seul la valeur 3π/7 est à retenir. D’où α/π = 3/7 qui est le nombre rationnel recherché.
