P1 La droite MN coupe AB en son milieu F, et FA² = FB² = FM*FN Par homothétie, M est le milieu de PQ, donc EP = EQ.

D1881. A votre convenance

Deux cercles (Γ1) et (Γ2) se coupent aux points M et N. On trace la tangente commune [AB] à ces deux cercles qui est la plus proche du point M avec A sur ( Γ1) et B sur (Γ2 ). La parallèle à la droite [AB] passant par M rencontre (Γ1) en un deuxième point C et (Γ2) en un deuxième point D. Les droites [AC] et [BD] se rencontrent au point E tandis que la droite [CD] rencontre la droite [AN] au point P et la droite [BN] au point Q.

Démontrez dans un ordre quelconque à votre convenance tout ou partie des propriétés suivantes : P1 : EP = EQ

P2 : CD = 2AB.

P3 : La droite [EN] est bissectrice de l’angle CND.

P4 : Les points A,B,E et N sont cocycliques P5 : Les triangles NCE et NED sont semblables

P6 : La droite [EN] est la symédiane issue de E dans le triangle CED.

Nota : une seule de ces propriétés a fait l’objet d’un problème lors d’une récente olympiade internationale de mathématiques.

Solution de Paul Voyer

P1 La droite MN coupe AB en son milieu F, et FA² = FB² = FM*FN Par homothétie, M est le milieu de PQ, donc EP = EQ.

P2 Les triangles ACM et BMD sont isocèles.

Donc le quadrilatère AEBM est symétrique et AB est la médiatrice de EM.

CD = 2 AB.

P3  CNE   CNA   ANE   CMA   ABE (angles inscrits) BMD

EAB BND

ENB

END        

 (angles inscrits)

Les deux expressions sont égales, NE est bissectrice de l'angle CND.

P4  ANB   ANM   MNB   ACD   CDB     AEB AEBN sont cocycliques (cercle Г3)

P5  ECN   BAN   BEN (angles inscrits)

P6 La médiane EG est symétrique de MN par rapport à la médiatrice de AB.

La bissectrice de CDE passe par le milieu de l'arc NG.

EN est bien la symédiane issue de E dans le triangle CED.