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c) I est le milieu de [AB]

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Application vecteurs Exercice 1 : Les questions sont indépendantes

1) Soient A, B, C et D quatre points du plan. Montrer que : 3⃗DA−⃗DB−2⃗DC=3⃗BA−2⃗BC 2) Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs ⃗AB et ⃗CD sont colinéaires :

a) 2⃗CB−9⃗CA−7⃗AD=⃗0 b) 7⃗AB=3⃗CB+5⃗AD+2⃗CA Exercice 2 :

A et B sont deux points tels que AB = 2 cm. Placer les points M et N définis par : 3⃗AM−2⃗BM=⃗0 et −2⃗NA+3⃗NB=⃗0

a) Exprimer ⃗AM en fonction de ⃗AB . Placer M b) Exprimer ⃗AN en fonction de ⃗AB . Placer N . c) I est le milieu de [AB].

Exprimer ⃗IM et ⃗IN en fonction de ⃗AB Déduire que I est le milieu de [MN]

Exercice 3 :

ABC est un triangle E un point tel que⃗AE=1

3⃗BC , I un point tel que ⃗CI=2

3⃗CB et F tel que : ⃗AF=1 3⃗AC a) Faire une figure. On prendra AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 7,5 cm .

b) Montrer que ⃗IE=⃗BA et ⃗IF=2 3⃗BA

c) En déduire que les points I , E et F sont alignés

Exercice 4 : Soit ABC un triangle et le point M tel que ⃗BM=1 3⃗BC

1) Faire une figure avec AB = 45 mm, BC = 60 mm et AC = 75 mm .

2) Construire le point M et démontrer à l'aide de la relation de Chasles que ⃗AM=2 3⃗AB+1

3⃗AC 3) Placer le point N tel que ⃗AN=2⃗AB+⃗AC

4) a) Démontrer alors que ⃗AN=3⃗AM b) Que peut-on en déduire ?

(2)

Coordonnées

Exercice 5 :

1) Placer dans un repère (O ; ⃗i , ⃗j ) les points A , B , C , D , E , F , G , H définie par : A(3 ;−1) B(2 ; 2) C(2 ; 3)

⃗OD=2⃗j OE=−⃗i+2⃗j ⃗OF=2⃗i OG=−2⃗i ⃗OH=3⃗i−2⃗j

2) En utilisant la relation de Chasles, exprimer les vecteurs suivants en fonction de ⃗i et ⃗j : a) ⃗FE b) ⃗AB c) ⃗EH

3) Soit ⃗u , ⃗v les vecteurs définis par : ⃗u=⃗AB+⃗FE , ⃗v=1

2⃗AB−⃗EF a) Exprimez ces vecteurs en fonction des vecteurs ⃗i et ⃗j .

b) En déduire leur coordonnées et les tracer dans le repère

Exercice 6 :

ABC est un triangle , I est le milieu de [BC] et J celui de [AI]. On choisit le repère ( A ; ⃗AB , ⃗AC ) a) Calculer les coordonnées de I et J

b) Calculer les coordonnées du vecteur ⃗u tel que ⃗u=2⃗JA+⃗JB+2⃗JC Exercice 7 :

ABCD est un rectangle.

a) Faire une figure et placer les points I , J , K , L définis par :

⃗AI=1

5⃗AB , ⃗BJ=1

3⃗BC , ⃗CK=1

5⃗CD , ⃗DL=1 3⃗DA b) Dans le repère (A ; ⃗AD , ⃗AB ) , exprimer les coordonnées des vecteurs IJ⃗ et ⃗LK c) En déduire la nature du quadrilatère IJKL

d) Démontrer que le centre du rectangle est aussi le milieu du segment [IK]

Exercice 8 :

Dans un repère (O;⃗i ,⃗j ) on considère les points P(−3 ;−1) , R(2 ;3) et S(−3 ;12) a) Déterminer les coordonnées du point N tel que ⃗ON=4⃗PR

b) Déterminer les coordonnées du point M tel que ⃗SM=3⃗PR

c) Déterminer les coordonnées du point K tel que 2⃗SK−3⃗RK=⃗KM

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