Application vecteurs Exercice 1 : Les questions sont indépendantes
1) Soient A, B, C et D quatre points du plan. Montrer que : 3⃗DA−⃗DB−2⃗DC=3⃗BA−2⃗BC 2) Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs ⃗AB et ⃗CD sont colinéaires :
a) 2⃗CB−9⃗CA−7⃗AD=⃗0 b) 7⃗AB=3⃗CB+5⃗AD+2⃗CA Exercice 2 :
A et B sont deux points tels que AB = 2 cm. Placer les points M et N définis par : 3⃗AM−2⃗BM=⃗0 et −2⃗NA+3⃗NB=⃗0
a) Exprimer ⃗AM en fonction de ⃗AB . Placer M b) Exprimer ⃗AN en fonction de ⃗AB . Placer N . c) I est le milieu de [AB].
Exprimer ⃗IM et ⃗IN en fonction de ⃗AB Déduire que I est le milieu de [MN]
Exercice 3 :
ABC est un triangle E un point tel que⃗AE=1
3⃗BC , I un point tel que ⃗CI=2
3⃗CB et F tel que : ⃗AF=1 3⃗AC a) Faire une figure. On prendra AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 7,5 cm .
b) Montrer que ⃗IE=⃗BA et ⃗IF=2 3⃗BA
c) En déduire que les points I , E et F sont alignés
Exercice 4 : Soit ABC un triangle et le point M tel que ⃗BM=1 3⃗BC
1) Faire une figure avec AB = 45 mm, BC = 60 mm et AC = 75 mm .
2) Construire le point M et démontrer à l'aide de la relation de Chasles que ⃗AM=2 3⃗AB+1
3⃗AC 3) Placer le point N tel que ⃗AN=2⃗AB+⃗AC
4) a) Démontrer alors que ⃗AN=3⃗AM b) Que peut-on en déduire ?
Coordonnées
Exercice 5 :
1) Placer dans un repère (O ; ⃗i , ⃗j ) les points A , B , C , D , E , F , G , H définie par : A(3 ;−1) B(2 ; 2) C(2 ; 3)
⃗OD=2⃗j ⃗OE=−⃗i+2⃗j ⃗OF=2⃗i ⃗OG=−2⃗i ⃗OH=3⃗i−2⃗j
2) En utilisant la relation de Chasles, exprimer les vecteurs suivants en fonction de ⃗i et ⃗j : a) ⃗FE b) ⃗AB c) ⃗EH
3) Soit ⃗u , ⃗v les vecteurs définis par : ⃗u=⃗AB+⃗FE , ⃗v=1
2⃗AB−⃗EF a) Exprimez ces vecteurs en fonction des vecteurs ⃗i et ⃗j .
b) En déduire leur coordonnées et les tracer dans le repère
Exercice 6 :
ABC est un triangle , I est le milieu de [BC] et J celui de [AI]. On choisit le repère ( A ; ⃗AB , ⃗AC ) a) Calculer les coordonnées de I et J
b) Calculer les coordonnées du vecteur ⃗u tel que ⃗u=2⃗JA+⃗JB+2⃗JC Exercice 7 :
ABCD est un rectangle.
a) Faire une figure et placer les points I , J , K , L définis par :
⃗AI=1
5⃗AB , ⃗BJ=1
3⃗BC , ⃗CK=1
5⃗CD , ⃗DL=1 3⃗DA b) Dans le repère (A ; ⃗AD , ⃗AB ) , exprimer les coordonnées des vecteurs IJ⃗ et ⃗LK c) En déduire la nature du quadrilatère IJKL
d) Démontrer que le centre du rectangle est aussi le milieu du segment [IK]
Exercice 8 :
Dans un repère (O;⃗i ,⃗j ) on considère les points P(−3 ;−1) , R(2 ;3) et S(−3 ;12) a) Déterminer les coordonnées du point N tel que ⃗ON=4⃗PR
b) Déterminer les coordonnées du point M tel que ⃗SM=3⃗PR
c) Déterminer les coordonnées du point K tel que 2⃗SK−3⃗RK=⃗KM