D2903. La toile d'araignée (4ième épisode) MB Problème proposé par Pierre Leteurtre
Le triangle ABC présente en C un angle de 45°. Il est inscrit dans le cercle (Γ) de centre O. C se projette orthogonalement en hC sur AB, et le cercle (ΓC) de diamètre ChC recoupe les droites CA et CB en D et en F.
K est le milieu de AB. E est le milieu de DF et G le symétrique de C par rapport à E.
Quel est le lieu de G quand C parcourt (Γ) ?
On fixe les points A , B : A(-1,0) B(+1,0). A tout point C(u,v) du plan on associe les points H,D,F : H projection de C sur AB, D et F projections de H sur CA et CB, puis G barycentre de D(1), F(1), C(-1).
On veut exprimer les coordonnées (x,y) de G en fonction de (u,v).
Droite CA : y/(x+1) = v/(u+1) ; produit scalaire HD.AC = (x – u)(u+1)+vy = 0 d'où les coordonnées de D : x = (u(u+1)² – v²)/((u+1)² + v²) y = v(u+1)²/((u+1)² + v²)
Droite CB : y/(x–1) = v/(u–1) ; produit scalaire HF.BC = (x – u)(u –1)+vy = 0 d'où les coordonnées de F : x = (u(u–1)² + v²)/((u–1)² + v²) y = v(u–1)²/((u–1)² + v²)
En vecteurs KG = KD +KF – KC d'où les coordonnées de G : x = u – (2uv2(u2+v2−1))
(((u+1)2+v2)((u−1)2+v2)) y = v – (2v3(u2+v2+1)) (((u+1)2+v2)((u−1)2+v2))
En particulier lorsque C est sur (Γ) d'équation u² + (v – 1)² = 2, ces coordonnées se simplifient lorsqu'on remplace u²+v² par 2v+1
x = u – (v3u)
((v+1)2−u2) y = v – (v3(v+1)) ((v+1)2−u2)
Les dénominateurs se simplifient encore car (v+1)² – u² = (v+1)² – (2 – (v–1)²) = 2v² x = u – uv/2 y = v – v(v+1)/2
La substitution u→√2 cos(t) , v→1+√2 sin(t) (représentation paramétrique du cercle (Γ) ) conduit à la représentation paramétrique du lieu de G :
x = √2/2 cos(t) – sin(2t)/2 y = –√2/2 sin(t) + cos(2t)/2 – 1/2 Cette courbe rouge est tritangente aux cercles de centre (0, –0,5) et de rayons (√2+1)/2 et (√2 –1) /2, les points doubles sont sur le cercle de centre (0, –0,5) et de rayon 1.
voir aussi page 2 →
Au lieu de faire varier C sur tout le cercle (Γ), si on préfère lui faire parcourrir les deux arcs capables du segment AB pour l'angle de 45°, le lieu de G présente l'aspect ci-dessous :
![ACTIVITE Un lieu de points. 1) Tracer un segment [AB] de 10 cm de longueur. 2) Tracer une droite d](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)