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Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D367– Monge en son tétraèdre [*** à la main]

Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABCD un tétraèdre quelconque.

Soit G son centre de gravité et O le centre de sa sphère circonscrite.

Soit M le point de Monge défini par : OM 2 OG 

Question 1

Démontrer que le point M appartient aux six plans passant par le milieu de l’une des six arêtes et perpendiculaires à l’arête opposée

Question 2

Calculer les coordonnées barycentriques des points O et M dans le repère affine (A, B, C, D), en fonction des arêtes : a BC, b CA, c AB, d DA, e DB, f DC     

Solution proposée par l’auteur Question 1

On montre que :    MA MB MC MD 2 MO

     (1)

En effet : MA MB MC MD MO OA MO OB MO OC MO OD

4 MO 4 OG 4 MO 2 OM 2 MO

           

    

          

         

Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].

Alors l’égalité (1) s’écrit :  MI  MJ MO ou encore : IM  OJ

Le vecteur OJ est un vecteur directeur du plan médiateur de [CD).

Donc M appartient au plan passant par I et perpendiculaire à la droite (CD).

On montre de même le point M appartient à tout plan qui passe par le milieu d’une arête et qui est perpendiculaire à l’arête opposée.

Question 2

Coordonnées barycentriques du centre O de la sphère circonscrite On cherche l’équation du plan médiateur du segment [DA].

Le milieu K de [DA] a pour coordonnées : 1 K 0

0 1

Dans le pan (DAB), la direction orthogonale à (DA) a pour point à l’infini :

2 2 2

2

2 2 2

d e c 2d 0

d c e

 

 

 

(2)

Dans le pan (DAC), la direction orthogonale à (DA) a pour point à l’infini :

2 2 2

2

2 2 2

d f b ' 0

2d d b f

 

 

  Le plan médiateur du segment [DA] passe par ces trois points et a pour équation :

2 2 2 2 2 2

2

2

2 2 2 2 2 2

x 1 d e c d f b

y 0 2d 0

z 0 0 2d 0

t 1 d c e d b f

   

 

   

On obtient : d x (e2  2c )y (f2   2b )z d t 02   2 

On déduit les équations des plans médiateurs de [DB] et [DC] par permutation circulaire sur x, y, z et sur a, b, c et sur d, e, f.

Les coordonnées de O sont alors solutions du système des trois équations :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

d x (e c )y (f b )z d t 0 (d c )x e y (f a )z e t 0 (d b )x (e a )y f z f t 0

          

          

          



On trouve :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

f c ( f e a ) e b (f e a ) a d (f e a ) 2f e a d a ( d b f )b e (d b f ) f c (d b f ) 2d b f O c f ( c e d ) e b (c e d ) d a (c e d ) 2c e d

a d ( a b c )b e (a

            

            

            

      b2c ) c f (a22 22b2c ) 2a b c22 2 2

Coordonnées barycentriques du point M de Monge

On cherche l’équation du plan P orthogonal à [DA], passant par le milieu L de [BC].

Le plan P passe par les trois points L,  et ' et a pour équation :

2 2 2 2 2 2

2

2

2 2 2 2 2 2

x 0 d e c d f b

y 1 2d 0

z 1 0 2d 0

t 0 d c e d b f

   

 

   

On obtient :

(3)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2d b c e f )x (b  e c f )y (b  e c f )z (2d  e  f b c )t 0 

On déduit les équations des plans orthogonaux [DB] et [DC], passant par les milieux de [CA] et [AB]

respectivement, par permutation circulaire sur x, y, z et sur a, b, c et sur d, e, f.

Les coordonnées de M sont alors solutions du système des trois équations :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2d b c e f )x (b e c f )y (b e c f )z (2d e f b c )t 0 (c f a d )x (2e c a f d )y (c f a d )z (2e f d c a )t 0 (a d b e )x (a d b e )y (2f a b d e )z (

                     

                      

                2f2 d2 e2 a2 b )t 02



      



On trouve :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

f c ( c b d ) e b (c b d ) a d (c b d ) f e a b d f c d e a b c d a ( a e c )b e (a e c ) f c (a e c ) d b f e c d a c b f e a M c f ( f b a ) e b (f b a ) d a (f b

               

               

           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a ) c e d b a c f a e d b f a d ( d e f )b e (d e f ) c f (d e f ) a b c e f a d f b c e d

    

               

On peut vérifier que la somme des coordonnées de O est égale à celle des coordonnées de M.

Les coordonnées du milieu de [OM] s’obtiennent en additionnant celles de O et de M.

On vérifie que les quatre coordonnées de ce milieu sont égales.

On retrouve bien que le milieu de [OM] est l’isobarycentre G du tétraèdre ABCD.

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