D367– Monge en son tétraèdre [*** à la main]
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABCD un tétraèdre quelconque.
Soit G son centre de gravité et O le centre de sa sphère circonscrite.
Soit M le point de Monge défini par : OM 2 OG
Question 1
Démontrer que le point M appartient aux six plans passant par le milieu de l’une des six arêtes et perpendiculaires à l’arête opposée
Question 2
Calculer les coordonnées barycentriques des points O et M dans le repère affine (A, B, C, D), en fonction des arêtes : a BC, b CA, c AB, d DA, e DB, f DC
Solution proposée par l’auteur Question 1
On montre que : MA MB MC MD 2 MO
(1)
En effet : MA MB MC MD MO OA MO OB MO OC MO OD
4 MO 4 OG 4 MO 2 OM 2 MO
Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
Alors l’égalité (1) s’écrit : MI MJ MO ou encore : IM OJ
Le vecteur OJ est un vecteur directeur du plan médiateur de [CD).
Donc M appartient au plan passant par I et perpendiculaire à la droite (CD).
On montre de même le point M appartient à tout plan qui passe par le milieu d’une arête et qui est perpendiculaire à l’arête opposée.
Question 2
Coordonnées barycentriques du centre O de la sphère circonscrite On cherche l’équation du plan médiateur du segment [DA].
Le milieu K de [DA] a pour coordonnées : 1 K 0
0 1
Dans le pan (DAB), la direction orthogonale à (DA) a pour point à l’infini :
2 2 2
2
2 2 2
d e c 2d 0
d c e
Dans le pan (DAC), la direction orthogonale à (DA) a pour point à l’infini :
2 2 2
2
2 2 2
d f b ' 0
2d d b f
Le plan médiateur du segment [DA] passe par ces trois points et a pour équation :
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
x 1 d e c d f b
y 0 2d 0
z 0 0 2d 0
t 1 d c e d b f
On obtient : d x (e2 2c )y (f2 2b )z d t 02 2
On déduit les équations des plans médiateurs de [DB] et [DC] par permutation circulaire sur x, y, z et sur a, b, c et sur d, e, f.
Les coordonnées de O sont alors solutions du système des trois équations :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
d x (e c )y (f b )z d t 0 (d c )x e y (f a )z e t 0 (d b )x (e a )y f z f t 0
On trouve :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
f c ( f e a ) e b (f e a ) a d (f e a ) 2f e a d a ( d b f )b e (d b f ) f c (d b f ) 2d b f O c f ( c e d ) e b (c e d ) d a (c e d ) 2c e d
a d ( a b c )b e (a
b2c ) c f (a2 2 2 2b2c ) 2a b c2 2 2 2
Coordonnées barycentriques du point M de Monge
On cherche l’équation du plan P orthogonal à [DA], passant par le milieu L de [BC].
Le plan P passe par les trois points L, et ' et a pour équation :
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
x 0 d e c d f b
y 1 2d 0
z 1 0 2d 0
t 0 d c e d b f
On obtient :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2d b c e f )x (b e c f )y (b e c f )z (2d e f b c )t 0
On déduit les équations des plans orthogonaux [DB] et [DC], passant par les milieux de [CA] et [AB]
respectivement, par permutation circulaire sur x, y, z et sur a, b, c et sur d, e, f.
Les coordonnées de M sont alors solutions du système des trois équations :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2d b c e f )x (b e c f )y (b e c f )z (2d e f b c )t 0 (c f a d )x (2e c a f d )y (c f a d )z (2e f d c a )t 0 (a d b e )x (a d b e )y (2f a b d e )z (
2f2 d2 e2 a2 b )t 02
On trouve :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
f c ( c b d ) e b (c b d ) a d (c b d ) f e a b d f c d e a b c d a ( a e c )b e (a e c ) f c (a e c ) d b f e c d a c b f e a M c f ( f b a ) e b (f b a ) d a (f b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a ) c e d b a c f a e d b f a d ( d e f )b e (d e f ) c f (d e f ) a b c e f a d f b c e d
On peut vérifier que la somme des coordonnées de O est égale à celle des coordonnées de M.
Les coordonnées du milieu de [OM] s’obtiennent en additionnant celles de O et de M.
On vérifie que les quatre coordonnées de ce milieu sont égales.
On retrouve bien que le milieu de [OM] est l’isobarycentre G du tétraèdre ABCD.