4 D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2011-2012
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NOM : Prénom :
Exercice 1 : Dans un triangle isocèle (4 points) ABC est un triangle isocèle en A.
[AH] est la hauteur issue de A.
Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
Quelle est la nature de AIHJ ? Justifie la réponse.
Exercice 2 : (6 points)
ABC est un triangle tel que AC = 6 cm; AB = 4 cm et BC = 3,5 cm. ACD est le triangle tel que AD = 5 cm; CD = 4 cm et B et D ne sont pas du même côté de la droite (AC). E est le milieu de [AB] et F le milieu de [AC]. La parallèle à (CD) passant par F coupe (AD) en G.
a) Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.
b) Montre que (EF) est parallèle à (BC).
c) Montre que G est le milieu de [AD].
d) Montre que (EG) et (BD) sont parallèles.
e) Calcule les longueurs EF et FG en justifiant.
f) Calcule le périmètre de AEFG.
Note :
10
4ème D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 2 2011-2012
2
NOM : Prénom :
Exercice 1 : Avec une médiatrice (4 points)
SEL est un triangle quelconque. Les points I, M et A sont les milieux respectifs de [LS], [SE] et [EL].
La médiatrice de [LE] coupe la droite (IM) en O.
Que représente (AO) pour le triangle IMA
?
Prouve-le.
Exercice 2 : (6 points)
ABD est un triangle tel que AD = 5 cm; AB = 3 cm
et BD = 2,5 cm. ACD est le triangle tel que AC = 6 cm; CD = 3 cm et B et C ne sont pas du même côté de la droite (AD). E est le milieu de [BD] et F le milieu de [AD]. La parallèle à (AC) passant par F coupe (CD) en G.
a) Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.
b) Montre que (EF) est parallèle à (AB).
c) Montre que G est le milieu de [DC].
d) Montre que (BC) et (EG) sont parallèles.
e) Calcule les longueurs EF et FG en justifiant.
f) Calcule le périmètre de EFGD.
Note :
10
4 D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2011-2012 CORRECTION
3 Exercice 1 : Dans un triangle isocèle (4 points)
ABC est un triangle isocèle en A.
[AH] est la hauteur issue de A.
Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
Quelle est la nature de AIHJ ? Justifie la réponse.
ABC étant un triangle isocèle en A la hauteur [AH] issue de A est aussi la médiane issue de A.
Donc H est le milieu de [BC].
Données : H est le milieu de [BC] et I est le milieu de [AB].
Propriété : Dans un triangle la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Conclusion : HI = AC 2
On montre de même que HJ = AB 2
On AB = AC puisque le triangle ABC est isocèle en A.
Donc HI = HJ = AB 2
D'autre part, AI = AJ = AB
2 puisque I et J sont les milieux respectifs de [AB] et de [AC] et que AB = AC.
Donc AI = AJ = IH = JH
Le quadrilatère AIHJ qui a ses 4 côtés de même longueur est un losange.
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4 Exercice 2 : (6 points)
ABC est un triangle tel que AC = 6 cm; AB = 4 cm et BC = 3,5 cm. ACD est le triangle tel que AD = 5 cm; CD = 4 cm et B et D ne sont pas du même côté de la droite (AC). E est le milieu de [AB] et F le milieu de [AC]. La parallèle à (CD) passant par F coupe (AD) en G.
a) Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.
b) Montre que (EF) est parallèle à (AB).
c) Montre que G est le milieu de [AD].
d) Montre que (EG) et (BD) sont parallèles.
e) Calcule les longueurs EF et FG en justifiant.
f) Calcule le périmètre de AEFG.
a)
b) Données :E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [AC].
Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Conclusion : (EF) // (BC)
c) Données : F est le milieu de [AC] et (FG) // (CD)
Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.
Conclusion : G est le milieu de [AD].
d) Données :E est le milieu de [AB] et G est le milieu de [AD].
Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Conclusion : (EG) // (BD)
e) Données :E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [AC].
Propriété : Dans un triangle la longueur du segment qui passe par le milieu de deux côtés est égale à la moitié du troisième côté.
Conclusion : EF = BC 2 = 3,5
2 = 1,75 cm De même, FG = CD
2 = 4
2 = 2 cm.
f) Périmètre(AEFG) = AE + EF + FG + GA = 2 + 1,75 + 2 + 2,5 = 8,25 cm
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5 Exercice 1 : Avec une médiatrice (4 points)
SEL est un triangle quelconque. Les points I, M et A sont les milieux respectifs de [LS], [SE] et [EL]. La médiatrice de [LE] coupe la droite (IM) en O.
Que représente (AO) pour le triangle IMA ? Prouve-le.
Données : I est le milieu de [SL] et M est le milieu de [ES]
Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
Conclusion : (IM) // (EL)
Données : (IM) // (EL) et (AO) ⊥ (IM) (car (AO) est la médiatrice ([EL].
Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Conclusion : (AO) ⊥ (IM)
On en conclut que (AO) est la hauteur issue de A du triangle IMA.
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6 Exercice 2 : (6 points)
ABD est un triangle tel que AD = 5 cm; AB = 3 cm et BD = 2,5 cm. ACD est le triangle tel que AC = 6 cm; CD = 3 cm et B et C ne sont pas du même côté de la droite (AD). E est le milieu de [BD] et F le milieu de [AD]. La parallèle à (AC) passant par F coupe (CD) en G.
a) Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.
b) Montre que (EF) est parallèle à (AB).
c) Montre que G est le milieu de [DC].
d) Montre que (BC) et (EG) sont parallèles.
e) Calcule les longueurs EF et FG en justifiant.
f) Calcule le périmètre de EFGD.
a) Données :E est le milieu de [BD] et F est le milieu de [AD].
Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Conclusion : (EF) // (AB)
b) Données : F est le milieu de [AD] et (FG) // (BD)
Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.
Conclusion : G est le milieu de [CD].
c) Données :E est le milieu de [BD] et G est le milieu de [CD].
Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Conclusion : (EG) // (BC)
d)Données :E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [AD].
Propriété : Dans un triangle la longueur du segment qui passe par le milieu de deux côtés est égale à la moitié du troisième côté.
Conclusion : EF = AB 2 = 3
2 = 1,5 cm De même, FG = AC
2 = 6
2 = 3 cm.
Périmètre(EFGD) = EF + FG + GD + DE = 1,5 + 3 + 1,5 + 1,25 = 7,25 cm
