Enoncé D1837 (Diophante) Passage obligé
Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E etF. Les cercles de diamètres BF etCE se coupent aux points P etQ.
Démontrer que lorsque [∆] pivote autour de D, la droite [P Q] passe par un point fixe.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Que l’on m’excuse d’écrire AB sans flèche pour le ves=cteur d’origine A et d’extrémitéB; je note AB·CD le produit scalaire des vecteursAB et CD.
Un pointM du cercle de diamètreBF vérifie 0 =BM·F M = (BE+EA+AM)·(F A+AM).
De même sur le cercle de diamètreCE
0 =CM·EM = (CF +F A+AM)·(EA+AM).
P et Q vérifient ces deux relations, soit aussi en retranchant membre à membre
0 =BE·F A−CF ·EA+AM(BE−CF) (∗).
Cette relation exprime quePetQont une même projection sur la parallèle menée parAau vecteurBE−CF. C’est donc l’équation de la droite [P Q].
Je caractériseDet [∆] par les paramètres réelsdetetels queDB =dDC, EA=eEB.
Par le théorème de Ménélaüs appliqué à la sécante [DEF], F A=deF C.
On en tire les vecteursBE =AB/(e−1), F A=ACde/(1−de), CF =AC/(de−1), EA=ABe/(1−e).
Portées dans (∗), ces expressions donnent
AM·BC+e(AB·AC(1−d) +AM ·(ABd−AC)) = 0.
Le point M qui vérifie à la fois AM ·BC = 0 (équation de la hauteur issue de A) et AB·AC(1−d) +AM ·(ABd−AC) = 0 appartient à la droite [P Q] quelle que soit la valeur de e, donc quelle que soit la droite [∆], CQFD.
Remarque. AD = AB−dAC
1−d . Si D0 est le symétrique de D par rapport au milieu deBC, la seconde condition s’écrit AM·AD0 =AB·AC.
