Enoncé D267 (Diophante) Cinq points et dix cercles
On considère cinq points dans le plan tels que trois d’entre eux ne sont ja- mais sur une même droite et quatre d’entre eux ne sont jamais cocycliques.
On trace les dix cercles qui passent par trois de ces points. Démontrer que parmi eux il y a toujours le même nombre de cercles qui contiennent à leur intérieur exactement l’un des deux points restants.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
SoientAetB deux points consécutifs de l’enveloppe convexe des 5 points.
Je considère les angles (CA, CB), (DA, DB), (EA, EB) (angles orientés de droites non orientées, définis modulo π). Supposons que (EA, EB) est le plus obtus ou le moins aigu, (DA, DB) le plus aigu ou le moins obtus, (CA, CB) ayant la situation intermédiaire. Alors le cercle circonscrit au triangle ABC contient E à son intérieur et nonD.
Je fais maintenant une inversion de pôle E conservant le cercle (ABC), ce qui échange l’intérieur et l’extérieur. Les points A, B, C, D deviennent A0, B0, C0 sur le cercle (ABC), et D0 intérieur à ce cercle. Il n’y a pas d’alignement de 3 des pointsA0, B0, C0, D0car il n’y a pas de cercle passant par E et 3 des pointsA, B, C, D.
Sur les dix cercles de l’énoncé, les six qui passent par E deviennent les 6 droites joignant deux des points A0, B0, C0, D0. Les quatre autres de- viennent les cercles circonscrits aux triangles A0B0C0, D0B0C0, D0C0A0, D0A0B0.
Premier cas. L’enveloppe convexe des points A0, B0, C0, D0 est le triangle A0B0C0.
Les trois droitesD0A0,D0B0,D0C0séparent les deux autres points ; par l’in- version elles deviennent les cercles circonscrits aux triangles DEA,DEB, DEC, dont chacun sépare aussi les deux autres points. Ce n’est pas le cas des droites B0C0,C0A0,A0B0 inverses des cercles circonscrits aux triangles BCE,CAE, ABE. Quant aux cercles circonscrits aux triangles D0B0C0, D0C0A0,D0A0B0, ils sont sans point intérieur et leurs inverses, circonscrits aux trianglesDBC,DCA,DAB, ne séparent pas les deux points restants.
Il y a donc 4 cercles contenant un seul des deux points restants, ceux circonscrits àABC, DEA, DEB, DEC.
Second cas. L’enveloppe convexe des pointsA0, B0, C0, D0est le quadrilatère A0B0C0D0, par exemple dans cet ordre.
Ce sont alors les deux diagonalesA0C0 etB0D0du quadrilatère qui séparent les points restants, et non les 4 côtés ; par l’inversion elles deviennent les cercles circonscrits aux trianglesACE etBDE.
Le point D0 est extérieur au triangle A0B0C0, mais intérieur à son cercle circonscrit ; il appartient au secteur délimité par la corde et l’arc C0A0. De ce fait l’angleC0D0A0 est plus grand que le supplémentaire de l’angle A0B0C0, et B0 est intérieur au cercle circonscrit au triangle D0C0A0; cela entraîne que le cercle circonscrit au triangleDCAsépare les pointsBetE.
Ce n’est pas le cas des cercles circonscrits aux trianglesD0B0C0 etD0A0B0. Il y a donc 4 cercles contenant un seul des deux points restants, ceux circonscrits àABC, ACE, BDE, DCA.
Toutes les configurations de 5 points se ramènent à ces deux cas, quitte à changer le nom des points. Ainsi la propriété “exactement quatre cercles sur dix séparent les deux points restants” est générale.
Remarque. Considérons le déterminant des carrés des distances 0 AB2 AC2 AD2 AE2
AB2 0 BC2 BD2 BE2 AC2 BC2 0 CD2 CE2 AD2 BD2 CD2 0 DE2 AE2 BE2 CE2 DE2 0
et les mineurs des dix termes au-dessous de la diagonale principale.
SiA, B, C, D, Esont cinq points d’un plan selon les conditions de l’énoncé, quatre mineurs sur dix sont négatifs. En effet, le mineur du termeDE2(par exemple) est négatif quand D et E sont séparés par le cercle circonscrit au triangleABC.
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