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D219- Six points et rien que des triangles isocèles

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Academic year: 2022

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D219- Six points et rien que des triangles isocèles

Solution

La solution est triviale … une fois qu’on l’a trouvée mais on peut tourner en rond pendant de longues minutes. Il « suffit » de considérer les cinq sommets A,B,C,D,E d’un pentagone régulier et son centre O.

Avec six points, il y a C36 6!/(3!)2 20 triangles qui peuvent être tracés.

En partant du centre O, il y a C25 10 triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEA, OAC, OAD, OBD, OBE, OCE qui sont tous isocèles car deux des côtés sont des rayons du cercle

circonscrit au pentagone.

En partant du sommet A et sans tenir compte des triangles ayant A et O pour sommets, on dénombre C24 6 triangles ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE qui sont tous isocèles car deux côtés sont aussi côtés du pentagone régulier ABCDE.

En partant du sommet B et en excluant les triangles ayant B et A ou O pour sommets, on dénombre C23 3 triangles BCD, BCE, BDE qui sont isocèles pour les mêmes raisons que pour les triangles de sommet A.

Enfin on a le vingtième triangle CDE qui est isocèle car CD=DE.

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