Géométrie C2
Leçon 47 : Triangles semblables
1.
Activités Activité I
I
Sur la figure ci-contre,
(DE)/(BC) et (er) ll(Æ).
Compléter :
a.
Dans les triangles ADEet ABC, on a :Â
est I'angle commun;C ADE:... .^- ,
AED = -:..La propriété de Thalès permet
d'écrire , *
="'- "'
AB
On
dit
que les triangles ADEet ABC sont semblables.b. Dans les triangle_s EFC
et
ABC, on a :FÊC=...; EÊC:...;
EÔF,La propriété de Thalès permet d'écrire t
*
ACOn obtient donc les triangles . . ... et . . ... sont semblables.
c. On en déduit que les
triangles
.... et...
sont semblables.Activité
2Dans chaque cas
(oe)//(ec) et (nr)/(AB)-
Compléter :figure
1 ftgure.2- (figure
1) : les triangles CEFet
CAB sont semblables car les angleset... sont...
etg:
CA
Les triangles
...
et...
sont semblablescar
et"""'
On en déduit que les
triangles
... et...
sont semblables.- (figure
2):
les triangles... et ...
sont semblables;les triangles...
et""'
sont semblables.
On en déduit que les
triangles
... et...
sont semblables.Géométrie C2
\.
2. Essentiel
1. Définition
Deux
triangles
sont semblables lorsqu'ilsont
leurs angles respectivement égaux et leurs côtés proportionnels.-
Deux
trianglesABCet
ivINPpossèdent:
À:lî[,Ê=N,Ô:i' AB AC
BCn et-
r MN MPNP
Donc les
triangles
ABCet
MNP sont semblables.2.
Théorème
Toute parallèle à
l'un
des côtésd'un
triangle détermine avec les deux autres côtéb un nouveau triangle-semblable au premier.- ABC est un triangle
et(nn)/(Bc).
Les triangles ADE et ABCsont semblables.
- Tout
triangle
égal au triangleC
ADEest semblable autriangle
ABC.Exercice
résolu I
ABCD
estun
trapèze de basesI,aalu [co]
tettesque
AB=28mmet
CD :35mm.Par
M
de [,0,n], on trace la. parallèle à la base ; elle coupe (BD) en Pet [nC]
ren
N. Calculer
MP, PNet
MNtel
que,4
AM = lItuID.Solution
Un
trapèzeABCDF AB =28mmcD:
35mm,(rnnr)//(oc), \ ,' AM=lvo
4
Hypothèse
Calculer
MP;PNet MN.
- Calculer
MP. \
(træ)//(an),
les triangles DMPet
DAB sont semblables, on adonc
:MPDM I' MP DM
Ic-est-a-ol
AB DA 28 4DM
4De ry:1 28',44
on endéduit
que MP=28x\:t ^*.
210
'-
Calculer pN.er MN.(PN)/(DC), les
rriangles BpNer
BDC sont semblables, on a donc :PN BN i-dire
PN= Bry :1
DC = BC
t'est-€
15 4BN
4O" #=1 35 4 or
en déduitque--r---.' pN:35x !=8,75^*. -- 4 v,'J"""' et
MN=7+8,75:15,75mmExercice résolu 2
ABC
et DEFdeux
triangles telsque
#=# "
C: F
Montrer que les triangles ABC
et
DEF sont semblables.Solution
C-
Dans letriangle
DEF, on construit le triangleFA,B,
avecEn
effetg:$ aon. I
=FE
c'"st-à-dire FBr'-
FArcA FD FAr FD -
.-- " -'^- eE
FDD'après la
propriété
récipfoque de Thalès, on a :(a,n,)//(m)et 2,: ô
on endéduit que d =s
Or
les trianglesABCet
DEF possèdent leurs angles respectivement'égaux doncils
sont semblables.Géométrie C2
.FAr =CA; FB,
:ç3
I
B
Triangle
ABC,et DEFCBFE.^
-:--=- :t
C=F.CA
FDMontrer que leS triangles ABC et DEF sont semblables.
2tl
l.
Géométrie C2
Exercices
ABC
est untriangle
tel queAI|:
15cm; AC=20cm.D
est le point delZAl
tel queAD =
l\cm.
E estle
point dellCl tel que
AE=l2cm .a-
Lestriangles
ABCet ADEsont-ils
semblables ? Pourquoi ?b.
Quelle estla
longueur ADpour qu'ils
soient semblables sachant que AB=l2cm ?ABC
est untriangle
tel queAI!:
4cm; AC=5cm.D
est le point delaAl tel
que AD = Scmclt.Eest
le pont delecl tel que
AÛ=l\cmLes
triangles ABCet
ADE sont-ils semblables ?Pourquoi
?ABC
et AB'C'deux
trianglesd'aires respectives
R'4800 cmz
et
750O cnt2 .Un
côté deI'angle
droit mesure 4O cm et 50 cm respectivement.Montrer
que lestriangles
ABCet
AB'C' sont semblables.Sur
la figure ci-dessous(en)//(oe) et (nc)//(er).
oA oc
a-
uomDarer,ODOF _
et_'
b.
Montrerque (ac)/l(or)
c.
En déduireque
les triangles ABC et DEF sont semblables.2.
3.
4.
212