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triangles triangles """' car g: triangles * EÊC:...; , * "'-

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Géométrie C2

Leçon 47 : Triangles semblables

1.

Activités Activité I

I

Sur la figure ci-contre,

(DE)/(BC) et (er) ll(Æ).

Compléter :

a.

Dans les triangles ADEet ABC, on a :

Â

est I'angle commun;

C ADE:... .^- ,

AED = -:..

La propriété de Thalès permet

d'écrire , *

=

"'- "'

AB

On

dit

que les triangles ADEet ABC sont semblables.

b. Dans les triangle_s EFC

et

ABC, on a :

FÊC=...; EÊC:...;

EÔF,

La propriété de Thalès permet d'écrire t

*

AC

On obtient donc les triangles . . ... et . . ... sont semblables.

c. On en déduit que les

triangles

.... et

...

sont semblables.

Activité

2

Dans chaque cas

(oe)//(ec) et (nr)/(AB)-

Compléter :

figure

1 ftgure.2

- (figure

1) : les triangles CEF

et

CAB sont semblables car les angles

et... sont...

et

g:

CA

Les triangles

...

et

...

sont semblables

car

et

"""'

On en déduit que les

triangles

... et

...

sont semblables.

- (figure

2):

les triangles

... et ...

sont semblables;les triangles

...

et

""'

sont semblables.

On en déduit que les

triangles

... et

...

sont semblables.

(2)

Géométrie C2

\.

2. Essentiel

1. Définition

Deux

triangles

sont semblables lorsqu'ils

ont

leurs angles respectivement égaux et leurs côtés proportionnels.

-

Deux

triangles

ABCet

ivINP

possèdent:

À:lî[,Ê=N,Ô:i' AB AC

BC

n et-

r MN MPNP

Donc les

triangles

ABC

et

MNP sont semblables.

2.

Théorème

Toute parallèle à

l'un

des côtés

d'un

triangle détermine avec les deux autres côtéb un nouveau triangle-semblable au premier.

- ABC est un triangle

et(nn)/(Bc).

Les triangles ADE et ABCsont semblables.

- Tout

triangle

égal au triangle

C

ADEest semblable au

triangle

ABC.

Exercice

résolu I

ABCD

est

un

trapèze de bases

I,aalu [co]

tettes

que

AB=28mm

et

CD :35mm.

Par

M

de [,0,n], on trace la. parallèle à la base ; elle coupe (BD) en P

et [nC]

r

en

N. Calculer

MP, PN

et

MN

tel

que

,4

AM = lItuID.

Solution

Un

trapèzeABCDF AB =28mm

cD:

35mm,(rnnr)

//(oc), \ ,' AM=lvo

4

Hypothèse

Calculer

MP;PN

et MN.

- Calculer

MP. \

(træ)//(an),

les triangles DMP

et

DAB sont semblables, on a

donc

:

MPDM I' MP DM

I

c-est-a-ol

AB DA 28 4DM

4

De ry:1 28',44

on en

déduit

que MP

=28x\:t ^*.

210

(3)

'-

Calculer pN.er MN.

(PN)/(DC), les

rriangles BpN

er

BDC sont semblables, on a donc :

PN BN i-dire

PN

= Bry :1

DC = BC

t'est-€

15 4BN

4

O" #=1 35 4 or

en déduitque

--r---.' pN:35x !=8,75^*. -- 4 v,'J"""' et

MN=7+8,75:15,75mm

Exercice résolu 2

ABC

et DEF

deux

triangles tels

que

#=# "

C

: F

Montrer que les triangles ABC

et

DEF sont semblables.

Solution

C

-

Dans le

triangle

DEF, on construit le triangle

FA,B,

avec

En

effet

g:$ aon. I

=

FE

c'"st-à-dire FBr

'-

FAr

cA FD FAr FD -

.-- " -'^- eE

FD

D'après la

propriété

récipfoque de Thalès, on a :

(a,n,)//(m)et 2,: ô

on en

déduit que d =s

Or

les triangles

ABCet

DEF possèdent leurs angles respectivement'égaux donc

ils

sont semblables.

Géométrie C2

.FAr =CA; FB,

:ç3

I

B

Triangle

ABC,et DEF

CBFE.^

-:--=- :t

C=F.

CA

FD

Montrer que leS triangles ABC et DEF sont semblables.

2tl

(4)

l.

Géométrie C2

Exercices

ABC

est un

triangle

tel que

AI|:

15cm; AC=20cm.

D

est le point de

lZAl

tel que

AD =

l\cm.

E est

le

point de

llCl tel que

AE=l2cm .

a-

Les

triangles

ABCet ADE

sont-ils

semblables ? Pourquoi ?

b.

Quelle est

la

longueur AD

pour qu'ils

soient semblables sachant que AB=l2cm ?

ABC

est un

triangle

tel que

AI!:

4cm; AC=5cm.

D

est le point de

laAl tel

que AD = Scmclt.E

est

le pont de

lecl tel que

AÛ=l\cm

Les

triangles ABC

et

ADE sont-ils semblables ?

Pourquoi

?

ABC

et AB'C'

deux

triangles

d'aires respectives

R'

4800 cmz

et

750O cnt2 .

Un

côté de

I'angle

droit mesure 4O cm et 50 cm respectivement.

Montrer

que les

triangles

ABC

et

AB'C' sont semblables.

Sur

la figure ci-dessous

(en)//(oe) et (nc)//(er).

oA oc

a-

uomDarer

,ODOF _

et

_'

b.

Montrer

que (ac)/l(or)

c.

En déduire

que

les triangles ABC et DEF sont semblables.

2.

3.

4.

212

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