D2914 – Distances inconnues [*** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Dans le plan on a 5 points A, B, C, D, E. Sur les dix distances qui séparent les points pris deux à deux, sept d’entre elles exprimées en mm sont connues :
d(A,B) = 2352, d(A,C) = 2352, d(A,E) = 1520, d(B,C) = 2352, d(B,E) = 1168, d(C,D) = 1365, d(D,E) = 43.
Déterminer les trois autres distances d(A,D), d(B,D) et d(C,E).
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Une construction rapide avec les données place D au dessus de E .
On ne connaît pas CE , mais supposons que les trois points C , D & E soient alignés ; dans ce cas : CE = 1365 + 43 = 1408 .
Considérons maintenant les 2 triangles ACE & BCE d'angles respectifs C' et C" . Le triangle ABC étant équilatéral , l'angle C = C' + C" = 60° . cos 60°= 1/2 .
Dans le triangle ACE : cos C' = (2352² + 1408² - 1520²) / ( 2 x 2352 x 1408 ) = 11 / 14 Alors : sin C' = 5V3 / 14 .
Dans le triangle BCE : cos C" = (2352² + 1408² - 1168²) / ( 2 x 2352 x 1408 ) = 13 / 14 Alors : sin C" = 3V3 / 14 .
Dans ce cas , cos ( C' + C" ) = cos C' x cos C" - sin C' x sin C" doit être égal à 1/2
On peut le vérifier : cos ( C' + C") = 11 x 13 / 14² - 5V3 x 3V3 / 14² = ( 143 - 45 ) / 196 = 98 / 196 = 1/2
Les points C , D & E sont bien alignés .
Considérons maintenant les 2 triangles ACD & BCD qui possèdent aussi les 2 angles C' & C" . posons AD = x et BD = y .
Cos C' = (2352² + 1365² - x²) / (2 x 2352 x 1365 ) = 11 / 14 . => x² = 2 350 089 => x = 1533 . Cos C" = (2352² + 1365² - y²) / (2 x 2352 x 1365 ) = 13 / 14 . => y² = 1 432 809 => y = 1197 . Les 3 inconnues sont donc : CE = 1408 ; AD = 1533 & BD = 1197 .
