1 J135 Problème de voisinage.
Problème proposé par Michel Lafond
Si n est un entier naturel au moins égal à 2, on pose dans certaines cases d’un carré n × n un pion de sorte que chaque case (occupée ou non) ait au moins une case voisine occupée. [Une case a 8 voisines].
Soit M (n) le nombre minimal de pions à poser.
1) Vérifier que pour n ≤ 18 une borne supérieure de M (n) est donnée dans le tableau ci-dessous : n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Borne
supérieure 2 2 4 5 8 9 12 15 18 21 24 29 34 38 44 49 56 2) Démontrer que si n ≥ 10 M (n) ≤ 0,18 n2.
3) Trouver une valeur de n pour laquelle M (n) < [inégalité stricte]
Exemple : pour n = 6 8 pions suffisent
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Solution de l’auteur:
Question 1.
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n = 8
n = 9
n = 10 n = 2 n = 3
n = 4 n = 5
n = 7
2
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Question 2.
Notons f (n) un nombre de pions qui peut être posé dans un carré n × n de sorte que chaque case ait au moins une case voisine occupée. [f (n) n’est pas nécessairement le minimum possible].
n = 11
Pour n = 11 on voit apparaître une méthode consistant à remplir le bord avec des blocs rectangulaires de 3 × 4 cases contenant chacun 2 pions, laissant au centre un carré de 5 × 5 qu’on remplit comme vu précédemment.
On a bien 8 × 2 + 5 = 21 pions.
Cette technique sera utilisée plusieurs fois dans la suite.
n = 12
n = 13 n = 14
n = 15
n = 16 n = 17
n = 18
3 On peut prendre jusqu’à n = 18 les valeurs vues précédemment :
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 f (n) 2 2 4 5 8 9 12 15 18 21 24 29 34 38 44 49 56 0,18 n2 0,7 1,6 2,9 4,5 6,5 8,8 11,5 14,6 18 21,8 25,9 30,4 35,2 40,5 46,1 52,0 58,3 Soit maintenant n ≥ 10. Il faut montrer qu’on peut choisir une position de pions telle que f (n) ≤ 0,18 n2. Désignons par (R) le rectangle de 3 × 4 cases contenant 2 pions, dans lequel chaque case a au moins une voisine occupée :
Si l’on pouvait recouvrir un carré n × n par k rectangles (R), alors on pourrait prendre f (n) = 2 n.
Distinguons 12 cas selon la valeur de n modulo 12 :
D’après la réponse à la question 1, f (n) ≤ 0,18 n2 pour n compris entre 10 et 18.
Donc on peut poser n = 12 k + r avec k > 0 et r compris entre 0 et 11.
Si n = 12 k on a un partage évident du carré n × n en
Donc on peut prendre f (n) = 24 k2 < 0,18 n2 = 0,18 (12 k)2 = 25,92 k2. On a dans ce cas f (n) ≤ 0,18 n2.
Si n = 12 k + 1, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n. Explications : Le rectangle R1 est composé de (3 k – 2) × (4 k – 1) rectangles (R)
Le rectangle R2 est composé de (1) × (4 k – 2) rectangles (R) Le rectangle R3 est composé de (3) × (3 k) rectangles (R) Le rectangle R4 est une bande de 1 × 7.
Sachant qu’un rectangle (R) contient deux pions et qu’une bande de longueur 7 peut être occupée par 4 pions pour que chaque case ait au moins une case voisine occupée (ci-dessous),
on a au total 2 [(3 k – 2) × (4 k – 1) + (4 k – 2) + 3 × (3 k)] + 4 = 24 k2 + 4 k + 4 pions Or 24 k2 + 4 k + 4 ≤ 0,18 × (12 k + 1)2 soit 3,82 ≤ 1,92 k2 + 0,32 k vrai à partir de k = 2.
@ @ (R)
3 (4 k – 1)
4 (3 k – 2)
3 (3)
4 (3 k)
3 (4 k – 2)
1 7 4 (1)
R1 R2
R3
R4
11 11 11 11 11
4 Comme le cas k = 1 c’est-à-dire n = 13 a été vu dans la question 1, on a bien toujours f (n) ≤ 0,18 n2. Si n = 12 k + 2, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n :
Le rectangle R1 est composé de (3 k – 1) × (4 k + 1) rectangles (R) Le rectangle R2 est composé de (2) × (3 k + 1) rectangles (R) Remarquons que ces deux rectangles débordent du carré n × n.
On a au total 2 [(3 k – 1) × (4 k + 1) + 2 × (3 k + 1)] = 24 k2 + 10 k + 4 pions
Or 24 k2 + 10 k + 4 ≤ 0,18 × (12 k + 2)2 soit 1,36 k + 3,28 ≤ 1,92 k2 vrai à partir de k = 2.
Comme le cas k = 1 c’est-à-dire n = 14 a été vu dans la question 1, on a bien toujours f (n) ≤ 0,18 n2. Si n = 12 k + 3, on a le recouvrement ci-dessous très simple du carré n × n :
Le rectangle R1 est composé de (4 k + 1) × (3 k + 1) rectangles (R) On a au total 2 [(4 k + 1) × (3 k + 1)] = 24 k2 + 14 k + 2 pions
Or 24 k2 + 14 k + 2 ≤ 0,18 × (12 k + 3)2 soit 1,04 k + 0,38 ≤ 1,92 k2 vrai à partir de k = 1.
Si n = 12 k + 4, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n : Le rectangle R1 est composé de (3 k + 1) × (4 k + 2) rectangles (R) On a au total 2 [(3 k + 1) × (4 k + 2)] = 24 k2 + 20 k + 4 pions
Or 24 k2 + 20 k + 4 ≤ 0,18 × (12 k + 4)2 soit 2,72 k + 1,12 ≤ 1,92 k2 vrai à partir de k = 2.
Comme le cas k = 1 c’est-à-dire n = 16 a été vu dans la question 1, on a bien toujours f (n) ≤ 0,18 n2. 4 (3 k – 1)
3 (4 k + 1)
3 (2)
4 (3 k + 1) R1
R2
4 (3 k + 1)
3 (4 k + 1) R1
5 Si n = 12 k + 5, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n :
Le rectangle R1 est composé de (3 k – 1) × (4 k – 1) rectangles (R) Le rectangle R2 est composé de (2) × (4 k + 2) rectangles (R) Le rectangle R3 est composé de (3) × (3 k) rectangles (R)
On a au total 2 [(3 k – 1) × (4 k – 1) + 2 × (4 k + 2) + 3 × (3 k)] = 24 k2 + 20 k + 10 pions Or 24 k2 + 20 k + 10 ≤ 0,18 × (12 k + 5)2 soit 1,6 k + 5,5 ≤ 1,92 k2 vrai à partir de k = 3.
Le cas k = 1 c’est-à-dire n = 17 a été vu dans la question 1, on a bien toujours f (n) ≤ 0,18 n2.
Le cas k = 2 c’est-à-dire n = 29 est résolu ci-dessus :
En effet, le carré 29 × 29 est décomposé en 60 rectangles (R) et un carré 11 × 11 au centre ce qui montre qu’on peut prendre f (29) = 2 × 60 + 21 = 141 < 0,18 × 292 = 151,38.
Si n = 12 k + 6, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n : 3 (4 k + 2)
4 (3 k + 1) R1
4 (3 k – 1)
3 (4 k – 1) 4 (2)
3 (4 k + 2)
3 (3)
4 (3 k) R1
R2
R3
6 Le rectangle R1 est composé de (4 k + 2) × (3 k + 2) rectangles (R)
On a au total 2 [(4 k + 2) × (3 k + 2)] = 24 k2 + 28 k + 8 pions
Or 24 k2 + 28 k + 8 ≤ 0,18 × (12 k + 6)2 soit 2,08 k + 1,52 ≤ 1,92 k2 vrai à partir de k = 2.
Comme le cas k = 1 c’est-à-dire n = 18 a été vu dans la question 1, on a bien toujours f (n) ≤ 0,18 n2. Si n = 12 k + 7, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n :
Le rectangle R1 est composé de (4 k + 1) × (3 k + 2) rectangles (R) Le rectangle R2 est composé de (1) × (4 k + 3) rectangles (R)
On a au total 2 [(4 k + 1) × (3 k + 2) + (4 k + 3)] = 24 k2 + 30 k + 10 pions
Or 24 k2 + 30 k + 10 ≤ 0,18 × (12 k + 6)2 soit 1,18 ≤ 1,92 k2 + 0,24 k vrai à partir de k = 1.
Si n = 12 k + 8, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n : 4 (3 k + 2)
3 (4 k + 2) R1
4 (3 k + 2)
3 (4 k + 1) R1
3 (4 k + 3)
4 (1) R2
3 (4 k + 3)
4 (3 k + 2) R1
7 Le rectangle R1 est composé de (3 k + 2) × (4 k + 3) rectangles (R)
On a au total 2 [(3 k + 2) × (4 k + 3)] = 24 k2 + 34 k + 12 pions
Or 24 k2 + 34 k + 12 ≤ 0,18 × (12 k + 8)2 soit 0,48 ≤ 1,92 k2 + 0,56 k vrai à partir de k = 1.
Si n = 12 k + 9, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n :
Le rectangle R1 est composé de (4 k + 3) × (3 k) rectangles (R) Le rectangle R2 est composé de 4 × (3 k + 2) rectangles (R)
Le dernier rectangle est une bande de 1 × 9 dans laquelle on peut mettre 5 pions pour que chaque case ait au moins une case voisine occupée (ci-dessous).
On a au total 2 [(4 k + 3) × 3 k + 3 × (3 k + 2)] + 5 = 24 k2 + 36 k + 17 pions
Or 24 k2 + 36 k + 17 ≤ 0,18 × (12 k + 9)2 soit 2,42 ≤ 1,92 k2 + 2,88 k vrai à partir de k = 1.
Si n = 12 k + 10, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n :
Le rectangle R1 est composé de (3 k + 1) × (4 k + 2) rectangles (R) Le rectangle R2 est composé de 1 × (4 k + 2) rectangles (R)
4 (3 k) 3 (3)
3 (4 k + 3) R1 R2 4 (3 k + 2)
1 9
4 (3 k + 1) R1 R2
R3
3 (2)
4
3 (4 k + 2)
4 (3 k + 3)
6 3 (4 k + 2)
8 Le dernier rectangle est une bande de 1 × 9 dans laquelle on peut mettre 5 pions pour que chaque case ait au moins une case voisine occupée (ci-dessous) :
On a au total 2 [(3 k + 1) × (4 k + 2) + 2 (3 k + 3) + (4k + 2)] = 24 k2 + 40 k + 20 pions Or 24 k2 + 40 k + 20 ≤ 0,18 × (12 k + 10)2 soit 2 ≤ 1,92 k2 + 3,2 k vrai à partir de k = 1.
Si n = 12 k + 11, on a le recouvrement ci-dessous du carré n × n :
Le rectangle R1 est composé de (3 k + 3) × (4 k + 4) rectangles (R) On a au total 2 [(3 k + 3) × (4 k + 4)] = 24 k2 + 48 k + 24 pions
Or 24 k2 + 48 k + 24 ≤ 0,18 × (12 k + 11)2 soit 0,48 k + 2,22 ≤ 1,92 k2 vrai à partir de k = 2.
Il reste le cas k = 1 c’est-à-dire n = 23 qui admet la solution ci-dessous :
En effet, le carré 23 × 23 est décomposé en 20 rectangles (R) et un carré 17 × 17 au centre, ce qui montre qu’on peut prendre f (23) = 2 × 20 + 49 = 89 < 0,18 × 232 = 95,22.
Question 3.
Pour trouver une valeur de n pour laquelle M (n) < , la technique précédente ne fonctionnera pas car elle est basée sur une un pavé de base (le rectangle (R)) qui contient 2 pions pour 12 cases soit une proportion de 1 / 6 trop élevée puisqu’il faut une inégalité stricte.
Il faut donc trouver un pavé plus performant, et ce sera le pavé ci-dessous noté (p) qui qui contient 2 pions pour 14 cases soit une proportion de 1 / 7 = 0,142… avec laquelle tous les espoirs sont permis.
3 (4 k + 4)
4 (3 k + 3) R1
Le pavé (p)
9 On vérifie que chacune des 14 cases de (p) a au moins une case voisine occupée.
Bien entendu, le pavage sera plus compliqué que pour le rectangle (R), mais un regroupement de 14 petits pavés (p) va nous donner un grand pavé noté (P) convenable :
Le pavé (P) recouvre une bonne partie d’un carré de côté 14 (en rouge ci-dessus).
On vérifie facilement que le pavé (P) pave le plan, et 9 de ces pavés (P) assemblés comme ci-dessous, permettent de recouvrir presque entièrement un carré de côté 3 × 14 = 42 :
Seules 12 petites zones du carré rouge ne sont pas recouvertes.
Les zones de 1, 2 ou 3 cases (en bas) seront recouvertes chacune par un rectangle (R), les zones de 7 cases (à droite) seront recouvertes chacune par deux rectangles (R), les zones de 10 cases (en haut) seront également recouvertes chacune par deux rectangles (R), et la zone de 15 cases en haut à droite sera recouverte par trois rectangles (R).
Au total, le carré de côté 42 est recouvert par 126 pavés (p) et 16 rectangles (R), chacun contenant 2 pions.
Cela fait 2 × (126 + 16) = 284 pions, alors que On a bien M (42) < .
Remarque : On peut par le même procédé trouver des valeurs de n pour lesquelles M (n) < et ceci pour tout nombre réel α strictement supérieur à 1 / 7. Peut-on faire mieux ?
14 pavés (p) forment le pavé (P)
Le carré de côté 42 (rouge) est presque recouvert par 9 pavés (P) donc par
9 × 14 = 126 pavés (p).
1 case
3 cases 3 cases
7 cases 10 cases 10 cases 15 cases
7 cases 7 cases 7 cases
7 cases
2 cases
