D2914 – Distances inconnues [*** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Dans le plan on a 5 points A, B, C, D, E. Sur les dix distances qui séparent les points pris deux à deux, sept d’entre elles exprimées en mm sont connues :
d(A,B) = 2352, d(A,C) = 2352, d(A,E) = 1520, d(B,C) = 2352, d(B,E) = 1168, d(C,D) = 1365, d(D,E) = 43.
Déterminer les trois autres distances d(A,D), d(B,D) et d(C,E).
Solution proposée par Jean Nicot
Le triangle ABC est équilatéral. L’angle ABE vaut 60°.
Le triangle ABE a ses trois côtés connus. L’angle ABE=α est déterminé par cos α =(BA²+BE²-AE²)/(2 BA.BE).
Comme CE ≤ CD+CE=1408, E est situé à l’intérieur du triangle ABC et l’angle EBC est égal à β= 60°- α.
Le triangle EBC a deux côtés connus BE et BC et leur angle β.
Le troisième côté EC est donc EC=
Valeurs numériques
cos α = 0,83463796 α = 33°,42184 β=26°,578159 EC = 1408,0000
On remarque que CD+DE=EC donc que D est sur le segment CE.
L’angle ACE=γ est donné par cos γ =(CA²+CE²-AE²)/(2 CA.CE). Dans le triangle ACD la longueur AD est donnée par AD =
L’angle BCD est 60°-y et la longueur DB est BD = Valeurs numériques
cos γ = 0,78571428 γ = 38°,21321 et AD=1533 60°- γ = 21,78679 cos(60°- γ) = 0,92857 et BD=1197
