A569 – Des centaines mais pas des milliers
Problème proposé par Michel LafondCombien y a-t-il d'entiers naturels ≥ 0 qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a² + b²+ c²+ 2015 d² ? (a, b, c, d entiers naturels)
Solution proposée par l’auteur Il y en a 395.
Toutes les variables ci-dessous sont des entiers naturels.
On suppose connu le lemme :
Un entier naturel peut s’écrire sous la forme si et seulement s’il n’est pas de la forme 2015 est évidemment de la forme F. Pour le reste, distinguons 2 cas :
Si n est inférieur à 2015 :
n’est possible que si d = 0.
On se ramène donc à
D’après le lemme, les impossibilités sont :
Les entiers de la forme Il y en a 251 [k varie de 0 à 250]
Les entiers de la forme Il y en a 63 [k varie de 0 à 62]
Les entiers de la forme Il y en a 15 [k varie de 0 à 14]
Les entiers de la forme Il y en a 4 [k varie de 0 à 3]
Les entiers de la forme Il y en a 1 [256 × 7]
Il y a 251 + 63 + 15 + 4 + 1 = 334 impossibilités si n est inférieur à 2015.
Si n est supérieur à 2015 :
est de la forme F.
Distinguons deux sous-cas : n < 8060 ou n > 8060
Si n < 8060. [donc
n’est possible que si d = 0 ou d = 1.
Il y aura donc impossibilité si ET sont impossibles.
Si n est pair, (n n’est pas de la forme F) implique [En effet, dans 4e, e = 0 car n – 2015 est impair]
Mais montre que ce qui est contradictoire.
Ainsi, si est pair, il est nécessairement de la forme F.
Si n est impair, (n n’est pas de la forme F) implique (n n’est pas de la forme F) implique
Les impossibilités comprises entre 2016 et 8059 sont donc à rechercher parmi les entiers n qui sont de la forme
et pour lesquels .
n (forme ) n – 2015 (forme
2023 8 = 4 × (8.0 + 2)
2031 16 = 42 × (8.0 + 0)
2039 24 = 4 × (8.0 + 6)
2047 32 = 42 × (8.0 + 2)
2055 40 = 4 × (8.1 + 2)
2063 48 = 42 × (8.0 + 3)
2071 56 = 4 × (8.1 + 6)
2079 64 = 43 × (8.0 + 0)
2087 72 = 4 × (8.2 + 2)
2095 80 = 42 × (8.0 + 5)
2103 88 = 4 × (8.2 + 6)
2111 96 = 42 × (8.0 + 6)
2119 104 = 4 × (8.3 + 2)
2127 112 = 42 × (8.0 + 7) 2127 n’est pas de la forme F
2135 120 = 4 × (8.3 + 6)
etc.
2255 240 = 42 × (8.1 + 7) 2255 n’est pas de la forme F etc.
On trouve ainsi (un programme est préférable à une recherche manuelle) que les entiers compris entre 2016 et 8059 qui ne sont pas de la forme F sont ceux de l’ensemble :
{2127, 2255, 2383, 2463, 2511, 2639, 2767, 2895, 2975, 3023, 3151, 3279, 3407, 3487, 3535, 3663, 3791, 3807, 3919, 3999, 4047, 4175, 4303, 4431, 4511, 4559, 4687, 4815, 4943, 5023, 5071, 5199, 5327, 5455, 5535, 5583, 5711, 5839, 5855, 5967, 6047, 6095, 6223, 6351, 6479, 6559, 6607, 6735, 6863, 6991, 7071, 7119, 7247, 7375, 7503, 7583, 7631, 7759, 7887, 7903, 8015}.
Il y en a 61.
Si n > 8060.
Dans ce cas, n est toujours de la forme F. En effet : Ou bien n est impair. Et s’il est de la forme alors
De plus
Donc d’où est de la forme F.
Ou bien n est pair. Et si alors
Donc
Or car e > 0.
est impair et congru à 1 ou 5 modulo 8 donc et n est de la forme F.
En résumé :
Il y a 334 + 61 = 395 entiers naturels qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme F =
