A816 – Avec modération...[* et **** à la main et avec l'aide d'un automate]
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On considère la suite xn définie par:
n 1
n n n 1 n n 1 n 2
12119 22204 12108 x 2024
x x x x x x
avec x₀ = 8358
8051, x₁ = 1506
1393 et x₂ = 294 251 Q₁ Calculer les valeurs exactes de x₃, x₄ et x₅.
Q₂ Quand n tend vers l'infini calculer la limite de la suite xn .
Nota: Le recours à un automate n'est pas interdit, mais avec modération pour ne pas se laisser griser
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ Les valeurs exactes de x₃, x₄ et x₅ sous forme de fractions irréductibles sont les suivantes:
x₃ = 66/49, x₄ = 18/11 et x₅ = 2
En poursuivant les calculs toujours manuellement avec les termes x₆ = 7/3, x₇ = 18/7, x₈ = 49/18,
x₉ = 138/49, x₁₀ = 397/138, on observe une propriété intéressante selon laquelle à partir de x₆, le numérateur de xk devient le dénominateur de xk+1.
On peut obtenir d'un tableur de type Excel les valeurs des xn avec 14 décimales significatives selon le rang n auquel on fait appel à l'automate et profiter de l'occasion pour obtenir la limite de xn qaund n devient grand.
On constate qu'en confiant les calculs à l'automate à partir de x₃, la valeur exacte de x₅ = 2 n'est pas obtenue.
Pour un rang n donné il y a toujours une divergence qui apparaît à la 6ième ou 7ième décimale du rang n + 1 entre la valeur vraie et la valeur calculée par le tableur.
Une caractéristique est commune aux quatre colonnes: elles affichent toutes une limite égale à 2018 mais avec des variations très brutales entre des valeurs proches de 3 et 2018 et le passage étrange par des valeurs négatives. L'usage de l'automate doit donc être envisagé avec une très grande modération. Nous l'oubierons pour traiter Q₂.
Q₂
Après avoir constaté que le numérateur de xk devient le dénominateur de xk+1, il est logique de considérer que xn est de la forme du rapport de deux valeurs d'une même fonction f(n+1)/f(n).
Ceci amène à un changement de variable défini par yn+1 = xnyn. On obtient une relation de récurrence linéaire sur les yn de la forme:
yn+2 = 2024yn+1 − 12119yn + 22204yn-1 − 12108yn-2
avec y₁ = 8358y₀/8051, y₂ = 9036y₀/8051 et y₃ = 10584y₀/8051 Avec y₀ = 8051, tous les yn sont des entiers.
L'équation polynomiale P(y) = 0 du 4ième degré associée à cette relation de récurrence s'écrit:
y⁴ − 2024y³ + 12119y² − 22204y + 12108 = 0
On observe que le produit des 4 racines est 12108 = 1*2*3*2018 et la somme des racines est
2024 = 1 + 2 + 3 + 2018. On vérifie aisément qu'il y a bien quatre racines entières 1,2,3,2018 et que P(y) = 0 s'écrit P(y) = (y − 1)(y − 2)(y − 3)(y − 2018) = 0
Dès lors yn est de la forme A. 2018n + B. 3n + C. 2n + D.1n
Grâce aux quatre valeurs y₀ = 8051, y₁ = 8358, y₂ = 9036 et y₃ = 10584, on sait calculer les coefficients A,B,C et D et l'on obtient yn = 2⁵.3n + 3⁵.2n + 2⁵.3⁵
D'où la valeur exacte de :
n 4 n 4 n 4
n n 5 n 5 n 5
3 2 1
x 3 2 1
Quand n tend vers l'infini, xn converge (très lentement) vers
3
qui est la limite recherchéeNota: la formule générale des xn est
n-4 n 4 n 4 n 4
n n-5 n 5 n 5 n 5
A.2018 B.3 C.2 D.1
x A.2018 B.3 C.2 D.1
.
Le coefficient D s'annule pour les valeurs initiales de l'énoncé dès lors qu'elles sont exprimées de la façon la plus précise possible sous forme de fractions irréductibles mais si ces valeurs sont des nombres décimaux avec un nombre fixe de décimales significatives, le coefficient A n'est plus nul et le terme A.2018n-4 devient prépondérant vis-à-vis des trois autres termes.La limite obtenue par l'automate est logiquement 2018.
