Enoncé D1998 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (16ème épisode)
Dans un triangle scalène ABC on trace le centre O du cercle circonscrit, le point de Nagel N et la droite d’Euler. Démontrer que la droiteN O est perpendiculaire à la droite d’Euler si et seulement si l’un des angles du triangle ABC est égal à 60°.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
SoitE le centre du cercle d’Euler, milieu deOH. L’homothétie de centre Get de rapport −2 transforme E, O, I en O, H, N. La propriété “6 HON droit” équivaut donc à “6 OEI droit”.
Le triangle IOH est alors isocèle ; les longueurs IO et IH peuvent être évaluées par Al-Kashi dans les triangles AIO et AIH de même angle (B−C)/2 enA.
IO2−IH2=AO2−AH2−2(AO−AH)AIcos(B−C)/2 =
= (AO−AH)(AO+AH−2AIcos(B−C)/2).
AO=R,AH = 2RcosA.
A partir de la formule classique pour le rayonr du cercle inscrit, AI =r/sin(A/2) = 4Rsin(B/2) sin(C/2) =
= 2Rcos(B/2−C/2)−2 sin(A/2),
(AI/R) cos(B/2−C/2) = 1 + cos(B−C)−cosB−cosC=
= 1 + cosBcosC+ cosA−cosB−cosC.
(AO+AH−2AIcos(B/2−C/2))/R=
= 1 + 2 cosA−2−2 cosA+ 2 cosB+ 2 cosC−4 cosBcosC =
= (1−2 cosB)(2 cosC−1).
D’oùIO2−IH2 =R2(1−2 cosA)(1−2 cosB)(2 cosC−1).
Pour queIO=IH, équivalant à6 HON droit, il faut et il suffit qu’un des anglesA, B, C ait pour cosinus 1/2, donc soit égal à 60°.
