Enonc´e D309 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les points A et B ne peuvent ˆetre diam´etralement oppos´es sur la sph`ere, car leur distance ne peut d´epasser 99 mm alors qu’un diam`etre mesure 100 mm.
Soit D le diam`etre parall`ele `a la corde AB, P le plan passant par D et contenantA etB, etQ le plan passant parD et orthogonal `aP.
Une coupe suivant le planQr´epond `a la question.
En effet, soit M un point du parcours du ver ; la longueur 99 mm de ce parcours est minor´ee (la ligne droite ´etant le plus court chemin. . .) par
|M A|+|M B|. De ce fait M est int´erieur `a l’ellipso¨ıde E de r´evolution de foyersA etB, de grand axe 99 mm, d´efini par |M A|+|M B| ≤99.
Cet ellipso¨ıde est lui-mˆeme contenu (strictement) dans l’ellipso¨ıdeE0d’´equation
|M A|+|M B|= 100. Ce dernier n’a qu’un point commun avecQ, le centre O de la pomme (|OA|=|OB|= 50 mm) qui est l’extr´emit´e d’un petit axe.
L’ellipso¨ıde E est tout entier du mˆeme cˆot´e de Q, et il en est de mˆeme du parcours du ver.
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