• Aucun résultat trouvé

D10029. Somme maximale Comment disposer 4 points

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "D10029. Somme maximale Comment disposer 4 points"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

D10029. Somme maximale

Comment disposer 4 pointsA, B, C, Dsur un cercle pour maximiser l’expres- sion

AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2? Solution

Soit a l’isobarycentre des points B, C, D. A partir de l’´egalit´e vectorielle aB~ +aC~ +aD~ = 0, on ´etablit la propri´et´e classique

AB2+AC2+AD2 = 3Aa2+aB2+aC2+aD2.

Laissant d’abord fixesB, C, D, on maximise la somme donn´ee en maximisant Aa, donc en prenantAsur le diam`etre passant para. L’isobarycentreH des 4 points A, B, C, D est le barycentre de A avec une masse 1 et a avec une masse 3, il se situe aussi sur ce diam`etre et A et H sont align´es avec O, centre du cercle.

* Si H n’est pas confondu avec O, on montrerait de mˆeme que la droite OH doit contenir, outreA, les pointsB, C, D. Les 4 points ne sont pas tous confondus (la somme serait nulle). Dans cette configuration, 3 des 4 points sont confondus, et la somme vaut 3 fois le carr´e du diam`etre. On va voir que cette configuration ne fournit pas la somme maximale.

* En effet, supposonsHconfondu avecO.Hest le milieu deIJ, en d´esignant parI le milieu deAB et parJ le milieu deCD.

– siI est enO,AB est un diam`etre,J est aussi en O,CD est un diam`etre etACBD est un rectangle.

– siI n’est pas enO,J non plus, OI est orthogonal `a AB etOI2+AB2/4 est le carr´e du rayon. O ´etant le milieu de IJ,OJ est parall`ele `a OI et de mˆeme longueur ; comme OJ2+CD2/4 est le carr´e du rayon,CD =AB et CD etAB sont tous deux orthogonaux `aIJ. Alors les 4 points forment un rectangleABCD ouABDC.

Dans tous ces cas la somme de l’´enonc´e vaut 4 fois le carr´e du diam`etre.

Nota 1. Comme l’observe Jean-Nicolas Pasquay, le rectangle ABCD peut ˆetre d´eg´en´er´e en deux paires de points confondus, diam´etralement oppos´ees.

Nota 2. Jean-Paul Courant g´en´eralise le probl`eme `a la somme des carr´es des distances entre n points d’un cercle de centre O et de rayon R, et obtient l’expressionn2(R2− |OH|2),H ´etant l’isobarycentre des n points.

1

Références

Documents relatifs

E₆ On trace un point P sur l’arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC.. La droite AP coupe BC au

E₆ On trace un point P sur l’arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC.. La droite AP coupe BC au

Soit un triangle ABC , M milieu de BC, D est sur BC le pied de la symédiane (les angles BAC et M AD ont

[r]

Enfin le deuxième arrangement, probablement le moins naturel à trouver, consiste à placer les quatre points aux sommets d’un trapèze isocèle ABCD avec les triangles ABD et BAC

En vertu du théorème de DESARGUES les droites joignant les sommets homologues sont concourantes. Comme les points O, D, B et les points O, H, F sont alignés, les points O, Y, X

3 ) La réalisation de cette figure est fortement problématique pour les élèves en début de 6ème. En effet sa réalisation pratique impose que le rectangle choisi ait une forme qui

l’on précisera. En déduire que K est le milieu du