D10029. Somme maximale
Comment disposer 4 pointsA, B, C, Dsur un cercle pour maximiser l’expres- sion
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2? Solution
Soit a l’isobarycentre des points B, C, D. A partir de l’´egalit´e vectorielle aB~ +aC~ +aD~ = 0, on ´etablit la propri´et´e classique
AB2+AC2+AD2 = 3Aa2+aB2+aC2+aD2.
Laissant d’abord fixesB, C, D, on maximise la somme donn´ee en maximisant Aa, donc en prenantAsur le diam`etre passant para. L’isobarycentreH des 4 points A, B, C, D est le barycentre de A avec une masse 1 et a avec une masse 3, il se situe aussi sur ce diam`etre et A et H sont align´es avec O, centre du cercle.
* Si H n’est pas confondu avec O, on montrerait de mˆeme que la droite OH doit contenir, outreA, les pointsB, C, D. Les 4 points ne sont pas tous confondus (la somme serait nulle). Dans cette configuration, 3 des 4 points sont confondus, et la somme vaut 3 fois le carr´e du diam`etre. On va voir que cette configuration ne fournit pas la somme maximale.
* En effet, supposonsHconfondu avecO.Hest le milieu deIJ, en d´esignant parI le milieu deAB et parJ le milieu deCD.
– siI est enO,AB est un diam`etre,J est aussi en O,CD est un diam`etre etACBD est un rectangle.
– siI n’est pas enO,J non plus, OI est orthogonal `a AB etOI2+AB2/4 est le carr´e du rayon. O ´etant le milieu de IJ,OJ est parall`ele `a OI et de mˆeme longueur ; comme OJ2+CD2/4 est le carr´e du rayon,CD =AB et CD etAB sont tous deux orthogonaux `aIJ. Alors les 4 points forment un rectangleABCD ouABDC.
Dans tous ces cas la somme de l’´enonc´e vaut 4 fois le carr´e du diam`etre.
Nota 1. Comme l’observe Jean-Nicolas Pasquay, le rectangle ABCD peut ˆetre d´eg´en´er´e en deux paires de points confondus, diam´etralement oppos´ees.
Nota 2. Jean-Paul Courant g´en´eralise le probl`eme `a la somme des carr´es des distances entre n points d’un cercle de centre O et de rayon R, et obtient l’expressionn2(R2− |OH|2),H ´etant l’isobarycentre des n points.
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