D217-Comment arranger 4 points dans le plan ?
Solution : il y a six manières d’agencer quatre points de telle sorte que les distances de tous les couples de points prennent seulement deux valeurs distinctes.
Il y a C = 6 couples distincts de points donc a priori 6 distances possibles. 24
Soient 2 points A et B. Par convention on prend AB = 1. Un troisième point C détermine nécessairement avec A et B un triangle équilatéral ou un triangle isocèle. Si le triangle ABC était scalène, il y aurait trois longueurs distinctes. Contradiction avec les hypothèses initiales.
1er cas : ABC est équilatéral
Le quatrième point D est nécessairement sur la médiatrice de l’un quelconque des trois côtés du triangle. Si ce n’était pas le cas, D déterminerait un triangle scalène avec deux sommets du triangle ABC .
Prenons par exemple D sur la médiatrice de BC passant par A. Il en résulte quatre positions possibles de D.
- D est au centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Trois distances sont égales à 1 et les trois autres sont égales à 1/ 3.
- D est le quatrième sommet du losange ABCD de côté 1 avec une diagonale égale à 1 la seconde égale à 3 .
- On trace le cercle de rayon unité centré en A et passant par B et C. La bissectrice de l’angle BAC coupe le cercle en deux points D1et D2 qui fournissent les 3ème et 4ème arrangements. Les distances entre les quatre points sont égales à 1 et 2 3 d’une part, à 1 et 2 3d’autre part.
2ème cas : ABC est isocèle de sommet A
D’ores et déjà, les deux distances sont connues AB = AC = 1 et BC = a. Il en résulte que DA et DB prennent nécessairement les valeurs 1 et a avec D symétrique de C par rapport à la médiatrice de AB avec DC = 1 puis DC = a.
Le premier arrangement qui vient à l’esprit est la disposition en carré. ABC est un triangle rectangle isocèle. Avec un carré de côté égal à 1, quatre distances prennent la valeur 1 et deux autres la valeur 2 qui est la diagonale du carré.
Enfin le deuxième arrangement, probablement le moins naturel à trouver, consiste à placer les quatre points aux sommets d’un trapèze isocèle ABCD avec les triangles ABD et BAC isocèles de sommets A et B.Trois couples de points (A,B), (A,D) et (B,C) sont à une distance de 1 et les trois autres couples (A,C), (C,D) et (B,D) sont à une distance égale au nombre d’or
=(1+ 5 )/2. Les points A,B,C et D sont 4 sommets d’un pentagone régulier.
