Enoncé D1989 (Diophante) Concours d’élégance Problème proposé par Jean-Nicolas Pasquay Soit un triangle

Enoncé D1989 (Diophante) Concours d’élégance

Problème proposé par Jean-Nicolas Pasquay

Soit un triangle ABC, M milieu de BC, D est sur BC le pied de la symédiane (les angles BAC et M AD ont même bissectrice). Démontrer de la façon la plus élégante possible que

(AM – AD)/(AM + AD) est le carré de (AB – AC)/(AB + AC).

Solutions de Jean Moreau de Saint-Martin

Première solution

SoientM N etM E la médiane et la symédiane du triangle M AC.

(M E, M A) = (M C, M N) = (BC, BA) car M N est parallèle àBA.

D’autre part (AM, AE) = (AM, AC) = (AB, AD).

Par similitude des trianglesAM E etABD,AD/AE=AB/AM. Par la propriété classique de la symédiane,AE/CE =AM²/CM², puis AE/AC=AM²/(AM²+CM²) = 2AM²/(AB²+AC²),

AD/AM =AB.AE/AM² = 2AB.AC/(AB²+AC²), 1±AD/AM = (AB±AC)²/(AB²+AC²),

entraînant la relation donnée.

Seconde solution

Par la propriété de la symédiane

BD/BC =AB²/(AB²+AC²),CD/BC =AC²/(AB²+AC²).

SubstituantBD etCD dans la relation de Stewart : BD.AC²+CD.AB²−BC.AD²=BD.CD.BC, on obtient

AD²(AB²+AC²)²= 2.AB².AC²(AB²+AC²)−AB².AC².BC² =

= 4.AB².AC².AM², d’où

AD/AM = 2AB.AC/(AB²+AC²) comme précédemment.