D239 – Neuf quadrilatères, dix huit diagonales et six points [**** à la main]
Solution de Michel Vanel
La figure de référence est la suivante :
Dans ce qui suit nous désignerons par (T, U, V, W) un ensemble de 4 points alignés et par P(Z) une perspective de centre Z. Cette transformation conserve le birapport de 4 points.
Considérons la diagonale GE qui touche la droite IS2 en L. Désignons par X et X’(non repris sur la figure) les intersections de GL avec respectivement IB et FA.
(G, E, X, L) - P(I) - (H, E, B, S2) - P(S1) - (G, D, A, S2) (G, E, X’, L) - P(F) - (G, D ,A, S2)
Ce qui prouve que les points X et X’ sont confondus.
Les diagonales GE, IB, FA sont concourantes. Il en est de même des diagonales (AE, CH, FG), (CE, ID, HA), (IE, BG, CD). Désignons par Y le point d’intersection des diagonales (CE, ID, HA).
Désignons par O l’intersection des diagonales CG et BD, et par K le point d’intersection de CG et de S1F.
(S1, H, I, G) – P(S2) – (S1, B, C, A) –P(D) – (K, O, C, G)
G est un point fixe de cette transformation. Le centre de perspective se trouve à l’intersection des droites S1K, HO et IC. C’est le point F. Ce qui prouve que O, H, F sont alignés.
Le point O est le centre de perspective des triangles GDH et CBF. En vertu du théorème de DESARGUES les diagonales HD, FB, et IA sont concourantes en un point J.
Maintenant considérons les triangles YDH et XBF. Leurs côtés homologues se coupent respectivement en I, A et J. En vertu du théorème de DESARGUES les droites joignant les sommets homologues sont concourantes. Comme les points O, D, B et les points O, H, F sont alignés, les points O, Y, X le sont également.
