Les op´ erations utilis´ ees ci-dessous peuvent ˆ etre d´ efinies comme suit : 1. un ´ echange ´ echange deux ´ el´ ements d’une permutation :

MPRI Algorithmique et bioinformatique 2016–2017

TD 1 : g´ enomique comparative

Les op´ erations utilis´ ees ci-dessous peuvent ˆ etre d´ efinies comme suit : 1. un ´ echange ´ echange deux ´ el´ ements d’une permutation :

(i, j ) =

* 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · n 1 · · · i − 1 j i + 1 · · · j − 1 i j + 1 · · · n

+ .

2. un ´ echange adjacent ´ echange deux ´ el´ ements adjacents d’une permutation : (i, i + 1) =

*

1 · · · i − 1 i i + 1 i + 2 · · · n 1 · · · i − 1 i + 1 i i + 2 · · · n

+ .

3. un ´ echange de blocs ´ echange deux intervalles d’une permutation ; β(i, j, k, l) =

* 1 · · · i − 1 i · · · j − 1 j j + 1 · · · k − 1 k · · · l − 1 l l + 1 · · · n 1 · · · i − 1 k · · · l − 1 j j + 1 · · · k − 1 i · · · j − 1 l l + 1 · · · n

+ .

4. une transposition ´ echange deux intervalles adjacents d’une permutation :

* 1 · · · i − 1 i · · · j − 1 j · · · k − 1 k · · · n 1 · · · i − 1 j · · · k − 1 i · · · j − 1 k · · · n

+

Question 1. Donnez une s´ equence de tri et prouvez son optimalit´ e pour les permutations suivantes :

1. h3 2 5 4 7 6 1i, par transpositions ; 2. h6 5 4 3 2 1i, par ´ echanges de blocs.

Question 2. Donnez un algorithme en O(n) pour calculer l’inverse d’une permutation.

Question 3. Donnez un algorithme en O(n) pour trier une permutation en utilisant le nombre minimum d’´ echanges (d’´ el´ ements non n´ ecessairement adjacents).

Question 4. Donnez un algorithme calculant la d´ ecomposition en cycles disjoints d’une permutation.

Question 5. Soit S un ensemble de permutations d´ efinissant la distance d

(·) sur S

. Prouvez que si S contient l’inverse de chacun de ses ´ el´ ements, on a d

(π) = d

(π

) pour toute permutation π.

Question 6. La permutation χ = hn n − 1 · · · 2 1i satisfait la propri´ et´ e suivante : pour toute permutation π dans S

, on a d(π) = d(χπχ

) quel que soit n, o` u d(·) est la distance des ´ echanges adjacents.

1. Prouvez cette affirmation.

2. Existe-t-il d’autres permutations satisfaisant cette propri´ et´ e ? Si oui, caract´ erisez- les toutes. Si non, prouvez que seule χ satisfait cette propri´ et´ e.

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Probl` emes ouverts

Question 7. On peut restreindre les transpositions ` a l’aide d’une contrainte “pr´ efixe” en les obligeant ` a agir sur un pr´ efixe de la permutation ` a trier. Ainsi, seules les transpositions de la forme τ (1, j, k) sont autoris´ ees. D´ eterminez la complexit´ e du tri par transpositions pr´ efixes.

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