Question 1. Donnez une 2-approximation polynomiale pour trier une permutation en utilisant le moins possible de transpositions.

(1)

MPRI Algorithmique et bioinformatique 2016–2017

TD 2 : g´ enomique comparative

Question 1. Donnez une 2-approximation polynomiale pour trier une permutation en utilisant le moins possible de transpositions.

Question 2. On a vu que, si S ´ etait l’ensemble des ´ echanges adjacents, la conjugaison par la permutation χ = hn n − 1 · · · 2 1i pr´ eservait la distance associ´ ee, c’est-` a-dire que pour toute permutation π dans S

_n

, on a d

_S

(π) = d

_S

(χπχ

⁻¹

).

1. G´ en´ eralisez cette affirmation aux renversements et aux transpositions.

2. Existe-t-il d’autres permutations satisfaisant cette propri´ et´ e ? Si oui, caract´ erisez- les toutes. Si non, prouvez que seule χ satisfait cette propri´ et´ e.

Question 3. Soit π ∈ S

_n

une permutation paire, c’est-` a-dire une permutation poss´ edant un nombre pair de cycles pairs, et S l’ensemble des cycles de longueur 3.

1. Prouvez que d

_S

(π) = (n − c

_odd

(π))/2 ;

2. D´ eduisez-en la minoration vue au cours sur la distance des transpositions.

Question 4. Prouvez que ∀ π ∈ S

_n

, on a bid(π) =

n+1−c(DBG(π))

2

, en prouvant d’une part la minoration et d’autre part la majoration.

Question 5. Soit π une permutation ne contenant que des points de rupture, fixant tous les ´ elements pairs, et ne fixant ni 1 ni n. Donnez un algorithme polynomial triant π en le nombre minimum de transpositions.

Question 1. Donnez une 2-approximation polynomiale pour trier une permutation en utilisant le moins possible de transpositions.

MPRI Algorithmique et bioinformatique 2016–2017

TD 2 : g´ enomique comparative

Question 1. Donnez une 2-approximation polynomiale pour trier une permutation en utilisant le moins possible de transpositions.

Question 2. On a vu que, si S ´ etait l’ensemble des ´ echanges adjacents, la conjugaison par la permutation χ = hn n − 1 · · · 2 1i pr´ eservait la distance associ´ ee, c’est-` a-dire que pour toute permutation π dans S

, on a d

(π) = d

(χπχ

).

1. G´ en´ eralisez cette affirmation aux renversements et aux transpositions.

2. Existe-t-il d’autres permutations satisfaisant cette propri´ et´ e ? Si oui, caract´ erisez- les toutes. Si non, prouvez que seule χ satisfait cette propri´ et´ e.

Question 3. Soit π ∈ S

une permutation paire, c’est-` a-dire une permutation poss´ edant un nombre pair de cycles pairs, et S l’ensemble des cycles de longueur 3.

1. Prouvez que d

(π) = (n − c

(π))/2 ;

2. D´ eduisez-en la minoration vue au cours sur la distance des transpositions.

Question 4. Prouvez que ∀ π ∈ S

, on a bid(π) =

, en prouvant d’une part la minoration et d’autre part la majoration.

Question 5. Soit π une permutation ne contenant que des points de rupture, fixant tous les ´ elements pairs, et ne fixant ni 1 ni n. Donnez un algorithme polynomial triant π en le nombre minimum de transpositions.

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