Stanislas
Calcul formel
TP n°4 - Approximation polynomiale
MPSI 1
Les commandes de ce T.P.
• Re • expand
• collect • degree, coeff, sort
• quo • rem
• subs • solve, factor
Dans tout ce T.D., on identiera polynômes et fonctions polynomiales.
Exercice 1. (Polynômes de Tchebychev)On rappelle que les polynômes de Tchebychev (Tn) sont dénis
• soit par la fonction polynomialeTn(x) = cos(narccos(x)),∀ x∈[−1,1],
• soit par la relation de récurrence T0= 1, T1 =X etTn+2= 2XTn+1−Tn. 1 . a)Déterminer les polynômes de Tchebychev pour n= 2,5,10,150.
b)Vérier les résultats sur le degré et le coecient dominant obtenus lors du T.D.
c)Représenter graphiquement les10 premiers polynômes de Tchebychev.
2. Calculer, pourn= 4,5, le reste et le quotient de la division euclidienne deT3n parTn 3. Dans le paquet orthopoly, que représente la fonction T ?
Exercice 2. (Polynômes d’interpolation de Lagrange)Soient{x1, . . . , xn+1} ∈[−1,1]n+1 des réels distincts. Pour tout entieri∈J1, n+ 1K, on note Li =
n+1
Q
k=1, k6=i (X−xk) (xi−xk). 1. Calculer le degré deLi, puis, pour tout k∈J1, n+ 1K, calculer Li(xk).
2. Soit f une fonction dénie sur [−1,1]. Montrer qu'il existe un unique polynôme Pf de degré inférieur ou égal anqui vérie
P(xi) =f(xi),∀i∈ {1, . . . , n+ 1}.
Ce polynôme est appelé le Polynôme Interpolateur de Lagrange def.
3. Illustration.Pour tout entier naturel non nuln, créer une subdivision régulière de l'intervalle [−1,1] (i.e. constituée des points xi = −1 + 2(i−1)n , i ∈ J1, n+ 1K). On considère la fonction f : [−1,1]→R, x7→ x2+0.091 .
Représenter graphiquement (pourn= 10) le polynôme d'interpolation de Lagrange en bleu poin- tillé, la fonction en rouge continu et les points d'interpolation en vert. Qu'appelle-t-on phénomène de Runge ?
4. L’apport de Tchebychev. Déterminer les racines du polynôme de Tchebychev Tn. Reprendre la question précédente en remplaçant la subdivision régulière par les racines des polynômes de Tchebychev. Quel est, selon vous, l'apport de Tchebychev au problème de l'interpolation polynomiale ?
Exercice 3. (Polynômes de Bernstein) Étant donnés deux entier naturels k ≤ n, on appelle polynôme de Bernstein d'ordre n les polynômes Bn,k = nk
Xk(1−X)n−k. Étant donnée la fonction f dénie précédemment mais restreinte à l'intervalle [0,1], on construit le polynôme Qf,n=
n
P
k=0
f kn Bn,k.
Représenter graphiquement les polynômesQf,n ainsi que la fonctionf pour diérentes de valeurs de n. Que conjecturer ?
