L1 2019-2020, Compl´ements de Math´ematiques 2 : notes sur la d´ecomposition en ´el´ements simples
Antoine Douai March 4, 2020
Pr´erequis : le cours sur les polynˆomes (racines, division euclidienne...) Dans ce paragraphe, K d´esigne le corpsR ou C.
1 D´ ecomposition en ´ el´ ements simples
D´efinition 1.1 Une fraction rationnelle `a coefficients dans K est une expression de la forme F = PQ o`uP et Q sont deux polynˆomes de K avec Q6= 0 (on supposera toujours que P et Q sont premiers entre eux).
D´ecomposerF en ´el´ements simples, c’est l’´ecrire comme une somme de fractions rationnelles plus simples, les´el´ements simples. Cela nous aidera par exemple `a trouver des primitives dans ce cas.
Vous savez que les polynˆomes admettent des factorisations diff´erentes selon que l’on soit dansRou C: la d´ecomposition en ´el´ements simples est diff´erente dans les deux cas.
1.1 D´ecomposition en ´el´ements simples sur C
Th´eor`eme 1.2 SoitF = PQ o`uP etQsont deux polynˆomes deCavecQ= (X−a1)λ1· · ·(X−ar)λr. Alors,
F =E+
λ1
X
i=1
b1,i
(X−a1)i +· · ·+
λr
X
i=1
br,i
(X−ar)i (1)
o`u E est un polynˆome. Cette ´ecriture est unique. Le polynˆome E est la partie enti`ere de F et les termes (X−aaj,i
j)i sont les ´el´ements simples.
Preuve. EcrivonsP =QE+R avec degR <degQ(division euclidienne). Alors F =E+RQ, ce qui fournit directement la partie enti`ere deF. On s’int´eresse donc `a RQ :
• on ´ecrit RQ =G+(x−a)H λ o`uGn’a pas de pˆole ena( Gest une fraction dont le d´enominateur ne s’annule pas en a) et degH ≤ λ−1 : pour cela, on ´ecrit RQ = (x−a)Rλ
Q o`u Q(a) 6= 0;
comme (x−a)λ et Q sont premiers entre eux il existe deux polynˆomes U et V tels que (x−a)λU+QV = 1 et donc
R
Q = R(x−a)λU+RQV
(x−a)λQ = RU
Q + RV (x−a)λ 1
et, en divisantRV par (x−a)λ,RV = (x−a)λT+H, degH ≤α−1 on obtient l’assertion.
La fraction (x−a)H λ est la partie polaire de RQ en aet on a (x−a)H λ =Pλ i=1
ci
(X−a)i parce que un polynˆome de degr´e au plusλ−1 s’ ´ecritPλ−1
k=0bk(X−a)k.
• Si on retranche `a la fraction rationnelleF sa partie enti`ere et ses parties polaires on obtient le polynˆome nul (une fraction rationnelle qui n’a pas de pˆoles est un polynˆome).
Ceci donne l’existence de la d´ecomposition. Pour l’unicit´e, on suppose qu’il existe deux d´ecompositions et on retranche (en remarquant que le degr´e d’une constante est strictement plus petit que 1).
1.2 D´ecomposition en ´el´ements simples sur R
La diff´erence est maintenant que les polynˆomes irr´eductibles deR[X] sont de la forme X−α ou bien de la formeX2+bX+c dont le discriminant est n´egatif (c’est `a dire b2−4c <0).
Th´eor`eme 1.3 Soit F = PQ o`u P et Q sont deux polynˆomes de R avec Q = (X−a1)λ1· · ·(X− ar)λr(X2+bX+c)p, b2−4c <0. Alors,
F =E+
λ1
X
i=1
b1,i
(X−a1)i +· · ·+
λr
X
i=1
br,i
(X−ar)i +
p
X
i=1
ciX+di
(X2+bX+c)i (2) o`u E est un polynˆome. Cette ´ecriture est unique.
Preuve. A partir de la d´ecomposition sur C en remarquant que les pˆoles et les parties polaires d’une fraction rationnelle r´eelle sont conjugu´es.
Remarque(s) 1.4 Je vous laisse ´ecrire le r´esultat si Q= (X−a1)λ1· · ·(X−ar)λr(X2+b1X+ c1)p1· · ·(X2+bqX+cq)pq.
2 Application : primitives de fractions rationnelles
Les r´esultats pr´ec´edents nous permettent, en th´eorie, de calculer des primitives de fractions ra- tionnelles. En effet, on peut ´ecrire une fraction rationnelle comme somme :
• d’un polynˆome,
• d’´el´ements du type (x−a)λ r,
• d’´el´ements du type ((x−a)λx+µ2+b2)p avec b6= 0 et p∈N∗ (dans les exos cela sera souventp= 1!).
Les primitives de ces trois types d’´el´ements sont assez faciles `a d´eterminer (voir td).
Exemple(s) 2.1 Pour trouver des primitives def(x) = (x−1)(x+1)1 3, on cherche a, b, c, d tels que f(x) = a
(x−1)+ b
(x+ 1)+ c
(x+ 1)2 + d (x+ 1)3. 2
En multipliant par x−1 et en ´evaluant en x= 1 on obtient a= 1/8. En multipliant par(x+ 1)3 et en en ´evaluant enx=−1 on obtient d=−1/2. En multipliant parx et en faisant tendre xvers +∞ on trouveb=−1/8. Enfin, en ´evaluant enx= 0 on trouve c=−1/4. Ainsi une primitive de f est
1
8ln|u−1|+ 1
4(x+ 1)2 + 1
4(x+ 1)−1
8ln|u+ 1|.
3
