D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X + 2

(1)

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

1.

(Eexo76.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X + 2

(X − 1)X(X + 1)

2.

(Efracrat13.tex)

La d´ ecomposition de F = X ⁷

(X ³ − 1) ³ contient deux ´ el´ ements simples

a

(X − j) ² et b

(X − j ² ) ² avec a ∈ C , b ∈ C En consid´ erant F ∈ R (X ), trouver une relation liant a et b.

3.

(Efracrat3.tex)

Ecrire avec des coefficients ind´ ´ etermin´ es que l’on ne calculera pas la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de

F = X ⁶

(X ² + 1)(X ² + X + 1) ²

4.

(Eexo73.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples _(X+1) ^X

⁵ ₄

5.

(Efracrat22.tex)

Soit A un polynˆ ome de degr´ e strictement plus petit que n. Former la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de

F = A (X − 1) ⁿ

6.

(Eexo65.tex)

D´ ecomposer X(X−1)(X−2) ¹ .

7.

(Efracrat7.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction F :

F = 3X + 2 + i X ² + (1 + i)X + i

8.

(Efracrat4.tex)

Soient a 1 , a 2 , · · · , a n des nombres complexes deux ` a deux distinctes et

A =

n

Y

i=1

(X − a i ) D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = ^A _A

⁰

.

9.

(Efracrat21.tex)

Soit A = X ² + 1 et B = X ² + X + 1.

D´ eterminer des polynˆ omes U et V tels que AU + BV = 1. En d´ eduire la d´ ecomposition dans R (X ) en ´ el´ ements simples de deuxi` eme esp` ece de F = _AB ¹ .

10.

(Efracrat19.tex)

La d´ ecomposition en ´ el´ ements simples dans C (X) de

F = 1 (X ⁴ − 1) ² est de la forme

a

(X − 1) ² + b

X − 1 + c

(X + 1) ² + d X + 1

+ e

(X − i) ² + f

X − i + g

(X + i) ² + h X + i Exprimer d, f , h en fonction de b.

11.

(Efracrat14.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = 1

X (X − 1) ²

12.

(Efracrat8.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction F :

F = 3X + 2 + 3i X ² + (1 + 2i)X − 1 + i

13.

(Efracrat5.tex)

Soit n ∈ N ^∗ , a ∈ C, A ∈ C [X ] de degr´ e strictement plus petit que n. ´ Ecrire ` a l’aide de d´ eriv´ ees la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de F = _(X−a) ^A

_n

.

14.

(Efracrat2.tex)

Ecrire avec des coefficients ind´ ´ etermin´ es (que l’on ne calculera pas) la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de

F = X ⁶ (X + 1) ³ (X ² − 1)

15.

(Efracrat26.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X

(X − 1) ² (X + 2)

1 AEFracrat

(2)

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

16.

(Efracrat20.tex)

La d´ ecomposition en ´ el´ ements simples dans R (X ) de

F = 1 (X ⁴ − 1) ²

contient un ´ el´ ement simple de deuxi` eme esp` ece aX + b

(X ² + 1) ² avec a et b r´ eels. Pr´ ecisez le.

17.

(Efracrat28.tex)

Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 2 de la fonction

x 7→ x ³ x ² − 1

Calculer la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de X ³

(X − 2) ² (X ² − 1)

18.

(Efracrat11.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction F :

F = X ⁴ (X − 1) ²

19.

(Efracrat6.tex)

Soient A et B deux polynˆ omes de mˆ eme degr´ e et de coefficients dominants respectivement λ et µ. Quelle est la partie enti` ere de la d´ ecomposition en

´ el´ ements simples de ^A _B ?

20.

(Efracrat23.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples 1

X ⁴ (X ² − 1)

21.

(Efracrat1.tex)

Soit a ∈ C , soient A et B dans C [X ] tels que a n’est pas racine de A et a est racine de multiplicit´ e 1 de B . Exprimer (` a l’aide d’une d´ eriv´ ee) la partie polaire relative ` a a de la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de F = ^A _B .

22.

(Efracrat16.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = X ⁵ + 1

X ² (X − 1) ²

23.

(Efracrat29.tex)

Soit t ∈ C , t 6= 0, t 6= 1. D´ ecomposer en

´

el´ ements simples

1 (1 − X )(1 − tX)

24.

(Efracrat9.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction F :

F = X ⁴ (X + i) ²

25.

(Efracrat25.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X ³

(X − 1)(X − 2)

26.

(Efracrat15.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = X ² + 2X + 5

X ² − 3X + 2

27.

(Efracrat30.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X

(X + 2) ² (X − 1)

28.

(Efracrat18.tex)

La d´ ecomposition en ´ el´ ements simples dans C (X) de

F = 1 (X ⁴ − 1) ² est de la forme

a

(X − 1) ² + b

X − 1 + c

(X + 1) ² + d X + 1

+ e

(X − i) ² + f

X − i + g

(X + i) ² + h X + i Exprimer c, e, g en fonction de a.

2 AEFracrat

(3)

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

29.

(Efracrat17.tex)

Ecrivez avec des coefficients ind´ ´ etermin´ es que l’on ne vous demande pas de calculer la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples dans C (X ) de

F = X ⁹ + 1 (X ⁴ − 1) ²

30.

(Efracrat27.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X ⁵ + 1

X ² (X − 1) ²

31.

(Efracrat12.tex)

La d´ ecomposition de F = X ⁷

(X ³ − 1) ³ contient deux ´ el´ ements simples

a

(X − j) ² et b

(X − j ² ) ² avec a ∈ C , b ∈ C En consid´ erant F b (jX), trouver une relation liant a et b.

32.

(Efracrat24.tex)

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X + 2

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

1.

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X + 2

(X − 1)X(X + 1)

2.

La d´ ecomposition de F = X 7

(X 3 − 1) 3 contient deux ´ el´ ements simples

a

(X − j) 2 et b

(X − j 2 ) 2 avec a ∈ C , b ∈ C En consid´ erant F ∈ R (X ), trouver une relation liant a et b.

3.

Ecrire avec des coefficients ind´ ´ etermin´ es que l’on ne calculera pas la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de

F = X 6

(X 2 + 1)(X 2 + X + 1) 2

4.

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples (X+1) X

5.

Soit A un polynˆ ome de degr´ e strictement plus petit que n. Former la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de

F = A (X − 1) n

6.

D´ ecomposer X(X−1)(X−2) 1 .

7.

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction F :

F = 3X + 2 + i X 2 + (1 + i)X + i

8.

Soient a 1 , a 2 , · · · , a n des nombres complexes deux ` a deux distinctes et

A =

n

Y

i=1

(X − a i ) D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = A A

.

9.

Soit A = X 2 + 1 et B = X 2 + X + 1.

D´ eterminer des polynˆ omes U et V tels que AU + BV = 1. En d´ eduire la d´ ecomposition dans R (X ) en ´ el´ ements simples de deuxi` eme esp` ece de F = AB 1 .

10.

La d´ ecomposition en ´ el´ ements simples dans C (X) de

F = 1 (X 4 − 1) 2 est de la forme

a

(X − 1) 2 + b

X − 1 + c

(X + 1) 2 + d X + 1

+ e

(X − i) 2 + f

X − i + g

(X + i) 2 + h X + i Exprimer d, f , h en fonction de b.

11.

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = 1

X (X − 1) 2

12.

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction F :

F = 3X + 2 + 3i X 2 + (1 + 2i)X − 1 + i

13.

Soit n ∈ N ∗ , a ∈ C, A ∈ C [X ] de degr´ e strictement plus petit que n. ´ Ecrire ` a l’aide de d´ eriv´ ees la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de F = (X−a) A

.

14.

Ecrire avec des coefficients ind´ ´ etermin´ es (que l’on ne calculera pas) la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de

F = X 6 (X + 1) 3 (X 2 − 1)

15.

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X

(X − 1) 2 (X + 2)

1 AEFracrat

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

16.

La d´ ecomposition en ´ el´ ements simples dans R (X ) de

F = 1 (X 4 − 1) 2

contient un ´ el´ ement simple de deuxi` eme esp` ece aX + b

(X 2 + 1) 2 avec a et b r´ eels. Pr´ ecisez le.

17.

Calculer le d´ eveloppement limit´ e en 2 de la fonction

x 7→ x 3 x 2 − 1

Calculer la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de X 3

(X − 2) 2 (X 2 − 1)

18.

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction F :

F = X 4 (X − 1) 2

19.

Soient A et B deux polynˆ omes de mˆ eme degr´ e et de coefficients dominants respectivement λ et µ. Quelle est la partie enti` ere de la d´ ecomposition en

´ el´ ements simples de A B ?

La d´ ecomposition de F = X ⁷

(X ³ − 1) ³ contient deux ´ el´ ements simples

(X − j) ² et b

(X − j ² ) ² avec a ∈ C , b ∈ C En consid´ erant F ∈ R (X ), trouver une relation liant a et b.

F = X ⁶

(X ² + 1)(X ² + X + 1) ²

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples _(X+1) ^X

F = A (X − 1) ⁿ

D´ ecomposer X(X−1)(X−2) ¹ .

F = 3X + 2 + i X ² + (1 + i)X + i

(X − a i ) D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = ^A _A

Soit A = X ² + 1 et B = X ² + X + 1.

D´ eterminer des polynˆ omes U et V tels que AU + BV = 1. En d´ eduire la d´ ecomposition dans R (X ) en ´ el´ ements simples de deuxi` eme esp` ece de F = _AB ¹ .

F = 1 (X ⁴ − 1) ² est de la forme

(X − 1) ² + b

(X + 1) ² + d X + 1

(X − i) ² + f

(X + i) ² + h X + i Exprimer d, f , h en fonction de b.

X (X − 1) ²

F = 3X + 2 + 3i X ² + (1 + 2i)X − 1 + i

Soit n ∈ N ^∗ , a ∈ C, A ∈ C [X ] de degr´ e strictement plus petit que n. ´ Ecrire ` a l’aide de d´ eriv´ ees la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de F = _(X−a) ^A

F = X ⁶ (X + 1) ³ (X ² − 1)

(X − 1) ² (X + 2)

F = 1 (X ⁴ − 1) ²

(X ² + 1) ² avec a et b r´ eels. Pr´ ecisez le.

x 7→ x ³ x ² − 1

Calculer la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de X ³

(X − 2) ² (X ² − 1)

F = X ⁴ (X − 1) ²

´ el´ ements simples de ^A _B ?

X ⁴ (X ² − 1)

Soit a ∈ C , soient A et B dans C [X ] tels que a n’est pas racine de A et a est racine de multiplicit´ e 1 de B . Exprimer (` a l’aide d’une d´ eriv´ ee) la partie polaire relative ` a a de la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de F = ^A _B .

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = X ⁵ + 1

X ² (X − 1) ²

F = X ⁴ (X + i) ²

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X ³

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples F = X ² + 2X + 5

X ² − 3X + 2

(X + 2) ² (X − 1)

F = 1 (X ⁴ − 1) ² est de la forme

(X − 1) ² + b

(X + 1) ² + d X + 1

(X − i) ² + f

(X + i) ² + h X + i Exprimer c, e, g en fonction de a.

F = X ⁹ + 1 (X ⁴ − 1) ²

D´ ecomposer en ´ el´ ements simples X ⁵ + 1

X ² (X − 1) ²

La d´ ecomposition de F = X ⁷

(X ³ − 1) ³ contient deux ´ el´ ements simples

(X − j) ² et b

(X − j ² ) ² avec a ∈ C , b ∈ C En consid´ erant F b (jX), trouver une relation liant a et b.

Soit n ∈ N ^∗ et z 0 , z 1 , · · · , z _n−1 des com- plexes deux ` a deux distincts. Soit

Quelle est la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de ^P _P

F = X ⁴ (X + 1) ²