Exercice 1. D´ ecomposer chacune des fractions rationnelles suivantes en ´ el´ ements simples dans R (X)

Universit´ e de Reims Champagne-Ardennes Ma0304 Arithm´ etique, 2013-2014

Feuille de TD n ^◦ 5

Fractions rationnelles

Exercice 1. D´ ecomposer chacune des fractions rationnelles suivantes en ´ el´ ements simples dans R (X)

F 1 = X ⁴ + 1

X ² − 4 ; F 2 = 1

X ² (X + 1) ; F 3 = X ⁴ + 1

X ³ − X ; F 4 = 2X + 1 X ⁵ − X ⁴ − X ³ + X ²

En d´ eduire la d´ eriv´ ee n ^eme de F ₁ , les branches infinies de x 7→ F ₃ (x) et une primitive de F ₂ et F 4 .

Exercice 2. D´ ecomposer chacune des fractions rationnelles suivantes en ´ el´ ements simples dans C(X)

F ₁ = 1

(X ³ − 1) ² ; F ₂ = 1 X ⁴ + 1 On pourra pour cela calculer F 1 (jX ) et F 2 (iX ).

Exercice 3. D´ ecomposer chacune des fractions rationnelles suivantes en ´ el´ ements simples dans C (X) et R (X)

F 1 = X ² + X + 1

(X − 1)(X − 2) ² (X ² + 1) ; F 2 = 1

X ³ − 1 ; F 3 = X ⁴

(X ² + X + 1) ² (X − 1) Exercice 4. Calculer

S n =

n

X

k=1

1

k(k + 1)(k + 2) et en d´ eduire la limite de S _n .

Exercice 5. D´ ecomposer, de deux mani` eres, en ´ el´ ements simples dans C (X) 1

X ⁿ − 1 . En d´ eduire que Q

h6=k |z _h − z _k | = n

o` u z _k = exp( ^2ikπ _n ).

Exercice 6. Soit P ∈ R n−1 [X]. D´ ecomposer en ´ el´ ements simples dans C(X) la fraction P X ⁿ − 1 et en d´ eduire l’´ egalit´ e

P (0) = 1 n

X

ω∈ U

P (ω).

1

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Pour vous exercer

Exercice 7. D´ ecomposer les fractions – F ₁ = X ⁵ + 1

X ² − 1

= X ³ + X + 1 X − 1

, – F 2 = X − 1

X ³ (X + 1)

= 2

X + 1 − 2 X + 2

X ² − 1 X ³

,

– F 3 = X ³

(X − 1)(X − 2)(X − 3)

= 1 + 1

2(X − 1) − 8

X − 2 + 27 2(X − 3)

.

2