Enoncé D1989 (Diophante) Concours d’élégance
Problème proposé par Jean-Nicolas Pasquay
Soit un triangle ABC, M milieu de BC, D est sur BC le pied de la symédiane (les angles BAC etM AD ont même bissectrice).
Démontrer de la façon la plus élégante possible que AM−AD
AM+AD est le carré de AB−AC
AB+AC.
Solution de Christian Stéfani
Notations :a, b, clongueurs des côtés BC, CA, AB.
M milieu de BC
Dpied de la symédiane ; on sait queb2DB+c2DC= 0⇒DB =a c2 b2+c2 α angleBADd =M ACd
Alors AD
sinB = BD sinα, AM
sinC = M C sinα,
⇒ AD
AM = BD M C
sinB
sinC = 2bc b2+c2, AM
b2+c2 = AD
2bc = AM−AD
(b−c)2 = AM +AD (b+c)2 CQFD.