Enoncé D174 (Diophante) Aux habitués du grand froid
Dans un triangleABC, on désigne parDetE les pieds des bissec- trices intérieure et extérieure de l’angle enAsur la droiteBC.M est le milieu du segment DE et P est le point d’intersection des tangentes enB etC au cercle circonscrit à ABC. La perpendicu- laire à la droite BC issue de D rencontre la droite AP au point Q.
Démontrer que la droite MQ partage le segment DP en son milieu.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit J =AP ∩BC,K =M P ∩DQ, L=DP∩M Q,I le milieu deBC, H le pied de la hauteur abaissée deA surBC. Le triangle ABC a pour longueurs des côtésa=BC, b=CA, c=AB.
HI = (b2−c2)/(2a) (algébriquement dans le sens de B vers C).
On aDL LP = DJ
J M·M K
KP = DJ J M·M D
DI , la première égalité exprimant Céva dans le triangle DM P et la seconde Thalès sur M I etM P (DQparallèle à IP).
La propriété AB/AC=DB/DC =EB/EC conduit à
BD=ac/(b+c),EB =ac/(b−c),EM =M D =abc/(b2−c2), M I= (a/2)(b2+c2)/(b2−c2).
AinsiDI/M D=M I/M D−1 = (b2+c2)/(2bc)−1 = (b−c)2/(2bc).
Les triangles semblablesJ AH, J P I fournissent J I=HI·IP/(AH+IP) =HI/(1 +AH/IP).
L’angleIBP =AetP est sur la médiatrice deBC, donc
IP = (a/2) tanA=abcsinA/(b2+c2−a2) , utilisant Al Kashi puis
=a2·AH/(b2+c2−a2) car l’aire du triangleABCest (bc/2) sinA= (a/2)AH.
AinsiAH/IP = (b2+c2)/a2−1, etJ I/HI =a2/(b2+c2).
J I= (a/2)(b2−c2)/(b2+c2), puisM J = 2ab2c2/(b4−c4).
J D/M J =M D/M J−1 = (b2+c2)/(2bc)−1 = (b−c)2/(2bc).
D’où DL/LP = 1, Lest le milieu de DP, CQFD.
