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Enoncé D174 (Diophante) Aux habitués du grand froid Dans un triangle

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Academic year: 2022

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Enoncé D174 (Diophante) Aux habitués du grand froid

Dans un triangleABC, on désigne parDetE les pieds des bissec- trices intérieure et extérieure de l’angle enAsur la droiteBC.M est le milieu du segment DE et P est le point d’intersection des tangentes enB etC au cercle circonscrit à ABC. La perpendicu- laire à la droite BC issue de D rencontre la droite AP au point Q.

Démontrer que la droite MQ partage le segment DP en son milieu.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soit J =APBC,K =M PDQ, L=DPM Q,I le milieu deBC, H le pied de la hauteur abaissée deA surBC. Le triangle ABC a pour longueurs des côtésa=BC, b=CA, c=AB.

HI = (b2c2)/(2a) (algébriquement dans le sens de B vers C).

On aDL LP = DJ

J M·M K

KP = DJ J M·M D

DI , la première égalité exprimant Céva dans le triangle DM P et la seconde Thalès sur M I etM P (DQparallèle à IP).

La propriété AB/AC=DB/DC =EB/EC conduit à

BD=ac/(b+c),EB =ac/(bc),EM =M D =abc/(b2c2), M I= (a/2)(b2+c2)/(b2c2).

AinsiDI/M D=M I/M D−1 = (b2+c2)/(2bc)−1 = (b−c)2/(2bc).

Les triangles semblablesJ AH, J P I fournissent J I=HI·IP/(AH+IP) =HI/(1 +AH/IP).

L’angleIBP =AetP est sur la médiatrice deBC, donc

IP = (a/2) tanA=abcsinA/(b2+c2−a2) , utilisant Al Kashi puis

=a2·AH/(b2+c2−a2) car l’aire du triangleABCest (bc/2) sinA= (a/2)AH.

AinsiAH/IP = (b2+c2)/a2−1, etJ I/HI =a2/(b2+c2).

J I= (a/2)(b2c2)/(b2+c2), puisM J = 2ab2c2/(b4c4).

J D/M J =M D/M J−1 = (b2+c2)/(2bc)−1 = (b−c)2/(2bc).

D’où DL/LP = 1, Lest le milieu de DP, CQFD.

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