de mˆeme, l’angle AF C est droit car F appartient au cercle de diam`etre AC

Enonc´e n^oD166 (Diophante) Angles droits en cascade

Les deux cercles dont les diam`etres sont les cˆot´es AB et AC d’un tri- angleABC se coupent en un deuxi`eme pointDautre queA. Une droite quelconque passant par D coupe respectivement ces deux cercles aux pointsEetF. SoientM etN les milieux respectifs des segmentsBC et EF. D´emontrer que les anglesAEB,AN M etAF C sont tous droits.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

L’angleAEB est droit car E appartient au cercle de diam`etre AB; de mˆeme, l’angle AF C est droit car F appartient au cercle de diam`etre AC.

Dans ces cercles, on a les relations entre angles (AE, AB) = (DE, DB) = (DF, DC) = (AF, AC).

Il en r´esulte que les triangles rectangles AEB et AF C ont des angles

´egaux ; ils sont semblables, AF C ´etant le transform´e de AEB par la similitude de pˆole A, d’angle (AB, AC) = (EB, F C) = (AE, AF), et de rapportAC/AB=AF/AE =F C/EB.

Pour l’angleAN M, j’utilise les relations vectorielles 2AM =AB+AC, 2AN =AE+AF,

2N M =AB+AC−AE−AF =EB+F C.

Le produit scalaire 4AN ·N M = (AE+AF)·(EB+F C) =

=AE·EB+AF ·F C +AE·F C+AF·EB=

=|AE|·|F C|cos(AE, F C)+|AF|·|EB|cos(AF, EB), les deux premiers produits scalaires s’annulant.

Par la similitude des triangles, on a|AE| · |F C|=|AF| · |EB|.

D’autre part, `a 2π pr`es, (AF, F C) = (F C, AF) +π, l’angleAF C´etant droit, puis

(AE, F C) = (AE, EB) + (EB, F C) = (AF, F C) + (EB, F C) =

= (EB, F C) + (F C, AF) +π= (EB, AF) +π, et cos(AE, F C) + cos(AF, EB) = 0.

Ainsi le produit scalaire 4AN ·N M = 0, ce qui prouve que l’angle AN M est droit.

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