D166. Angles droits en cascade

D166. Angles droits en cascade

Les deux cercles dont les diamètres sont les côtés AB et AC d’un triangle ABC se coupent en un deuxième point D autre que A. Une droite quelconque passant par D coupe respectivement ces deux cercles aux points E et F. Soient M et N les milieux respectifs des segments BC et EF. Démontrer que les angles AEB, ANM et AFC sont tous droits.

Soient A(0,0) B(ܽ, 0) et C(ܾ, ܿ)

Les cercle (C1) de diamètre AB et (C2) de diamètre AC ont pour équation :

ቀݔ −ܽ 2ቁ

ଶ+ ݕ^ଶ=ܽ^ଶ

4 ݁ݐ ൬ݔ −ܾ 2൰

ଶ+ ቀݕ −ܿ 2ቁ

ଶ=ܾ^ଶ+ ܿ^ଶ 4 Leur intersection (D) à pour coordonnées :

ݔ஽ = ܽܿ^ଶ

ሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶ ݁ݐ ݕ஽ = ܽሺܽ − ܾሻܿ

ሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶ La droite passant par D et un point quelconque de coordonnées (m,0) a pour équation

ݕ = ܽܿሺܾ − ܽሻ

݉ሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ − ܽܿ^ଶݔ + ݉ܽܿሺܽ − ܾሻ

݉ሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ − ܽܿ^ଶ Le point E, intersection de (C1) et (D) a pour coordonnées :

ݔா= ܽሺܽ − ܾሻ^ଶ݉^ଶ

ܽ^ଶܿ^ଶ− 2ܽܿ^ଶ݉ + ݉^ଶሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ ݁ݐ ݕ^ா= ݉ܽܿሺܽ − ܾሻሺܽ − ݉ሻ

ܽ^ଶܿ^ଶ− 2ܽܿ^ଶ݉ + ݉^ଶሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ Le point F, intersection de (C2) et (D) a pour coordonnées :

ݔி=݉ሺܽ − ܾሻሾܽሺܿ^ଶ+ ܾ݉ሻ − ݉ሺܾ^ଶ+ ܿ^ଶሻሿ

ܽ^ଶܿ^ଶ− 2ܽܿ^ଶ݉ + ݉^ଶሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ ݁ݐ ݕ^ா= ݉ܽܿሺܽ − ܾሻሺܾ − ݉ሻ

ܽ^ଶܿ^ଶ− 2ܽܿ^ଶ݉ + ݉^ଶሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ Le point N milieu de EF a pour coordonnées :

ݔே=ݔா+ ݔி

2 ݁ݐ ݕே=ݕா+ ݕி

Le point M milieu de BC a pour coordonnées : 2

ݔெ=ܽ + ܾ

2 ݁ݐ ݕ^ெ=ܿ 2

Il ne reste plus qu'à calculer le produit scalaire ܣܰሬሬሬሬሬሬԦ. ܰܯሬሬሬሬሬሬሬԦ = ሺݔே− 0ሻሺݔே− ݔெሻ + ሺݕே− 0ሻሺݕே− ݕெሻ ܣܰሬሬሬሬሬሬԦ. ܰܯሬሬሬሬሬሬሬԦ = −ܽሺܽ − ܾሻܿሺܽ + ܾ − 2݉ሻ݉ ൬− ܿ2 − ܽሺܽ − ܾሻܿሺܽ + ܾ − 2݉ሻ݉

2ܽ^ଶܿ^ଶ− 4ܽܿ^ଶ݉ + 2ሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ݉^ଶ൰ 2ܽ^ଶܿ^ଶ− 4ܽܿ^ଶ݉ + 2ሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ݉^ଶ

+ሺܽ − ܾሻ݉ሺܽܿ^ଶ+ ܽ^ଶ݉ − ሺܾ^ଶ+ ܿ^ଶሻ݉ሻሺ12ሺ−ܽ − ܾሻ + ሺܽ − ܾሻ݉ሺܽܿ^ଶ+ ܽ^ଶ݉ − ሺܾ^ଶ+ ܿ^ଶሻ݉ሻ 2ܽ^ଶܿ^ଶ− 4ܽܿ^ଶ݉ + 2ሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ݉^ଶሻ 2ܽ^ଶܿ^ଶ− 4ܽܿ^ଶ݉ + 2ሺሺܽ − ܾሻ^ଶ+ ܿ^ଶሻ݉^ଶ

Qui, après quelques simplifications, est identiquement égal à 0, faisant de ܣܰܯ෣ un angle droit.

Quant aux angles ܣܧܤ෣ ݁ݐ ܣܨܥ෣ , ils sont évidemment droits puisqu'ils interceptent un diamètre.