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D166 : Angles droits en cascade

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Academic year: 2022

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D166 : Angles droits en cascade

Les deux cercles dont les diamètres sont les côtés AB et AC d’un triangle ABC se coupent en un deuxième point D autre que A. Une droite quelconque passant par D coupe respectivement ces deux cercles aux points E et F. Soient M et N les milieux respectifs des segments BC et EF. Démontrer que les angles AEB, ANM et AFC sont tous droits.

D est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. E appartient au cercle de diamètre AB, et F au cercle de diamètre AC, donc AEB et AFC sont des angles droits AEF=ABD, AFD=ACD, le triangle AEF est donc semblable au triangle ABC; dans cette similitude de centre A, l’image de B est E, celle de C est F, et celle de M est N.

Donc les angles AEB, AFC et ANM sont égaux et droits.

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