D166. Angles droits en cascade Solution proposée par Philippe Bertran
1. E appartient au cercle de diamètre AB, donc l’angle AEB est droit.
2. F appartient au cercle de diamètre AC, donc l’angle AFC est droit.
3. D appartient au cercle de diamètre AB, donc l’angle ADB est droit ; de même, D appartient au cercle de diamètre AC, donc l’angle ADC est droit. Par conséquent, B, C et D sont alignés et AD est perpendiculaire à BD.
Il en résulte que l’angle ADM est droit. (1) Soit a l’angle entre les droites BC et EF : a = CDF = BDE
A, E, B et D sont cocycliques, donc AED = ABD , c'est-à-dire AEF = ABC (2) A, F, C et D sont cocycliques, donc AFD = ACD , c'est-à-dire AFE = ACB (3)
(2) et (3) montrent que les triangles ABC et AEF ont des angles égaux donc sont semblables.
Or EAB = EDB = a (points cocycliques) et de même FAC = FDC = a . Donc, en particulier, EAB = FAC = a.
Il en résulte que les triangles semblables AEF et ABC se déduisent l’un de l’autre par une similitude de centre A et d’angle a. Dans cette similitude, le milieu N de EF est l’image du milieu M de BC et donc NAM = a , c'est-à-dire NAM = NAD , donc NAMD sont
cocycliques. Par conséquent ANM = ADM.
Comme on a démontré que ADM est droit, cette dernière égalité entraîne que l’angle ANM est droit.
