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D166. Angles droits en cascade

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Academic year: 2022

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D166. Angles droits en cascade

Les deux cercles dont les diamètres sont les côtés AB et AC d’un triangle ABC se coupent en un deuxième point D autre que A. Une droite quelconque passant par D coupe respectivement ces deux cercles aux points E et F. Soient M et N les milieux respectifs des segments BC et EF. Démontrer que les angles AEB, ANM et AFC sont tous droits.

Solution proposée par Paul Voyer:

Les angles en E et F sont droits car ils sous-tendent un diamètre.

Angle EDB = EDB (angle inscrit)

Angle CDF = EDB (opposé par le sommet) Angle CAF = CDF (angle inscrit)

Les triangles AEB et AFC sont donc semblables.

N est l'image de M dans la similitude qui transforme le triangle ABC en AEF.

Le triangle ANM est donc semblable au triangle AEB, donc l'angle ANM est droit.

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