D166 – Angles droits en cascade
Les deux cercles dont les diamètres sont les côtés AB et AC d’un triangle ABC se coupent en un deuxième point D autre que A. Une droite quelconque passant par D coupe respectivement ces deux cercles aux points E et F. Soient M et N les milieux respectifs des segments BC et EF. Démontrer que les angles AEB, ANM et AFC sont tous droits.
Solution proposée par Patrick Gordon
Le point D n'est autre que le pied de la hauteur abaissée de A sur BC, puisque les deux angles BDA et CDA sont droits.
Il en résulte les égalités angulaires :
EAB = EDB (angles inscrits interceptant le même arc) FAC = FDC (angles inscrits interceptant le même arc) EDB = FDC (angles opposés)
D'où :
EAB = FAC.
Les triangles EAB et FAC étant rectangles, cette dernière égalité angulaire établit qu'ils sont semblables.
On a donc :
AE/AB = AF / AC, soit encore :
AE / AF = AB / AC.
Comme les angles BAC et EAF sont égaux (par différences avec les angles EAB et FAC), les triangles EAF et BAC sont semblables.
La similitude (rotation + homothétie) qui transforme BAC en EAF transforme M, milieu de BC, en N, milieu de EF.
Le triangle ANM est donc semblable aux triangles AEB et AFC et l'angle ANM est donc droit, comme les angles AEB et AFC.
