D166. Angles droits en cascade
Les deux cercles dont les diamètres sont les côtés AB et AC d’un triangle ABC se coupent en un deuxième point D autre que A. Une droite quelconque passant par D coupe
respectivement ces deux cercles aux points E et F. Soient M et N les milieux respectifs des segments BC et EF. Démontrer que les angles AEB, ANM et AFC sont tous droits.
AEB est rectangle en E, car E appartient au cercle de diamètre AB.
AFC est rectangle en F, car F appartient au cercle de diamètre AC.
On appelle α l'angle entre la droite de construction passant par D et la droite AD.
Dans le cercle passant par ABDE, c'est l'angle sous lequel on « voit » la corde AE : il se retrouve donc en B.
De la même manière, dans le cercle passant par ADCF, c'est l'angle sous lequel on
« voit » la corde AF : il se retrouve donc en C.
Les triangles AEB et AFC sont rectangles en E et F, avec un même angle aux sommets B et C : ils sont donc semblables. Comme M et N sont les milieux respectifs de EF et de BC, la réciproque du théorème de Thalès implique que MN soit parallèle à BE et CF, donc que le triangle ANM soit lui aussi semblable aux deux autres et en particulier, rectangle en N.
A
B
A
C D
E
F
M A
N B
α α
α
