Deux angles droits
Problème D1904 de Diophante
1er angle droit - Soit un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit.
Le cercle tangent en A à AB et passant par C rencontre en un deuxième point P le cercle tangent en A à AC et passant par B.
Démontrer que OP est perpendiculaire à AP.
2ème angle droit - Quatre points A,B,C et D pris dans cet ordre sont situés sur la circonférence d’un cercle de centre O. Les droites AB et CD se rencontrent en un point M .Les cercles circonscrits aux triangles ACM et BDM se rencontrent en M et un en deuxième point P.
Démontrer que OP est perpendiculaire à MP.
Nota : les deux problèmes sont indépendants.
Solution
1er angle droit - Ci-dessous soient : T le symétrique de A par rapport à O ; Q l’intersection de la droite TC et de la perpendiculaire en A à AB ; (b) le cercle de diamètre AQ ; R l’intersection de la droite TB et de la perpendiculaire en A à AC ; (c) le cercle de diamètre AR et enfin P le point projeté orthogonal de A sur QR.
A
B C
O
P Q
R
T
(b)
V U (c)
Il apparaît que AQRT est un parallélogramme dont O est le centre et que P est aussi commun aux deux cercles (b) et (c).
Le centre O étant évidemment sur la diagonale QR, il en résulte que les droites OP et AP sont perpendiculaires.
2ème angle droit – Le résultat demandé apparaît comme un sous-produit des résultats qui suivent.
A
B
C D
O M
L P
Q
R N
A
B
C D
O M
L P
Q
R N
Etant donnés les points A, B, C et D sur un même cercle Ω (noir) de centre O, notons L, M et N les intersections de AC et BD, de AB et CD et de AD et BC.
Il est classique de reconnaître les trois divisions harmoniques (LA,LB ;
LM,LN), (MA,MC ; ML,MN) et (NA,NB ; NL,NM). Du fait que les points A, B, C et D sont sur un même cercle Ω, les droites MN, NL et LM sont les polaires respectives des points L, M et N par rapport à ce cercle Ω. Les trois cercles de diamètres MN, NL et LM se recoupent, deux à deux, aux points P, Q et R pieds des polaires précitées.
L’inversion, de centre L, qui permute A et C, conserve globalement le cercle Ω. Donc elle permute B et D et aussi O et Q, du fait que L et Q sont conjugués par rapport à Ω (s’en convaincre !).
Elle permute donc le cercle de diamètre LM et la droite ON et en particulier les points M et P. Des égalités LA.LC = LM.LP = LB.LD il apparaît que P, tout comme M, est à la fois sur le cercle circonscrit au triangle ACM et sur le cercle circonscrit aux triangles BDM.
D’où le résultat à démontrer, annoncé dans l’énoncé.