D233 : Carrés en cascade
Sur les côtés AB, BC et AC d’un triangle ABC, on construit respectivement les carrés
intérieurs ABDE, BCFG et ACHI dont les centres sont les points J,K et L. On désigne par M,N et P les milieux des segments BC, DH et EI. Le point Q est le symétrique de N par rapport à EI.
Démontrer que les quadrilatères JMLP, BNCK et ENIQ sont tous trois des carrés.
Nota : le carré ABDE (et alii) est dit intérieur si les trois points C,D et E sont du même côté par rapport à AB.
Nous noterons par la même lettre un point et son affixe complexe. Puisque ABDE est un carré de centre J, B-D=A-E=i(A-B), 2J=A+D, donc D=(1+i)B-iA, E=(1-i)A+iB
2J=(1-i)A+(1+i)B; de même C-F=B-G=i(B-C), 2K=B+F donc F=(1+i)C-iB, G=(1-i)B+iC 2K=(1-i)B+(1+i)C; ou encore A-I=C-H=i(C-A), 2L=C+I donc I=(1+i)A-iC, H=(1-i)C+iA et 2L=(1-i)C+(1+i)A; de plus 2M=B+C, 2N=D+H=(1+i)B+(1-i)C, 2P=E+I=2A+iB-iC.
2(M-J)=B+C-(1-i)A-(1+i)B, 2(L-P)=(1+i)A-2A-iB+iC, 2(L-M)=(1-i)C+(1+i)A-B-C, donc 2(M-J)=2(L-P)=2i(L-M) : JMLP est donc un carré.
2(B-N)=(1-i)(B-C), 2(K-C)=(1-i)(B-C), 2(K-B)=(1+i)(C-B)=i(1-i)(B-C) : BNCK est un carré.
2(E-N)=2(1-i)A-(1-i)B-(1-i)C, 2(I-N)=2(1+i)A-(1+i)B-(1+i)C=-2i(E-N) : ENI forme un triangle isocèle rectangle, donc si Q est le symétrique de N par rapport à EI, ENIQ est un carré.
