D1904. Deux angles droits 1

D1904. Deux angles droits 1^erangle droit

Soit un triangleABCdontOest le centre du cercle circonscrit. Le cercle tangent en Aà (AB) et pas- sant parCrencontre en un deuxième pointPle cercle tangent enAà (AC) et passant parB.

Démontrer que (OP) est perpendiculaire à (AP).

2^eangle droit

Quatre pointsA,B,CetDpris dans cet ordre sont situés sur la circonférence d’un cercle de centreO. Les droites (AB) et (C D) se rencontrent en un pointM. Les cercles circonscrits aux trianglesAC Met B D Mse rencontrent enMet en un deuxième pointP.

Démontrer que (OP) est perpendiculaire à (M P).

Nota : les deux problèmes sont indépendants.

Solution de Claude Felloneau

1^erangle droit

On noteB⁰le centre du cercle tangent enAà (AB) passant parC etC⁰le centre du cercle tangent en Aà (AC) passant parB.

×O

×

A

×B

×C

×B⁰

×C⁰

×

×

P

×O⁰

La droite (OC⁰) est la médiatrice du segment [AB] donc elle est perpendiculaire à (AB) qui est tan- gente enAau cercle de centreB⁰passant par A. Les droites (AB) et (OC⁰), perpendiculaires à (AB),

sont donc parallèles. De même, les droites (AC⁰) et (OB⁰) sont parallèles et le quadrilatèreAB⁰OC⁰est donc un parallélogramme.

Le milieuO⁰du segment [AO] est donc sur la médiatrice (B⁰C⁰) du segment [AP]. On en déduit que O⁰O=O⁰A=O⁰P, ce qui prouve que le triangleAOPest rectangle enP.

La droite (OP) est perpendiculaire à (AP).

2^eangle droit

SoientB⁰etC⁰les centres respectifs des cercles circonscrits aux trianglesB D MetAC M. On noteM⁰le point diamétralement opposé àMsur le cercle circonscrit au triangleAB M.

×O

×A

×B

×

C

D×

×

M

B⁰×

×C⁰

×

P

×O⁰

M×⁰

Avec des angles de droites, on a :

(Bá0M, AC)=(Má0M,M0B)+(Má0B, AB)+(ABá, AC)

Or (Má0M,M0B) =(D Má,DB)=(DCá, DB)=(ACá, AB) d’après la propriété de l’angle inscrit, donc (Bá0M, AC)=(Má0B, AB)=(B Má0,B M) ; ce dernier angle est droit puisque le triangleB M M⁰est rec- tangle enB. Ainsi la droite (B⁰M) est perpendiculaire à (AC).

La droite (OC⁰), médiatrice de [AC], est aussi perpendiculaire à (AC) donc elle est parallèle à (B⁰M).

De même, les droites (C⁰M) et (OB⁰) sont parallèles et le quadrilatèreM B⁰OC⁰est un parallélogramme.

On conclut comme dans le premier problème.

Le milieuO⁰ de [M O] est sur la médiatrice (B⁰C⁰) du segment [M P], doncO⁰O=O⁰M=O⁰P, ce qui prouve que le triangleM OPest rectangle enP.

La droite (OP) est perpendiculaire à (M P).

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