() CONTRÔLE N°2 seconde 6.

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CONTRÔLE N°2 seconde 6.

Le jeudi 9 nove mbre 2017.

I. Dans un repère orthonormal, on donne A( 1 2) , B(1 8) et C(7 6) . 1. Faire une figure que l on complètera au fur et à mesure.

2. Calculer BC.

On donne pour la suite AB 40 et AC 80 . 3. Montrer que le triangle A BC est isocèle rectangle en B.

4. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].

5. a. Donner le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle A BC ? Justifier.

b. Soit D(1 0) . Montrer que D est un point du cercle de centre I passant par C.

c. Les points A,B,C,D sont- ils cocycliques ? Justifier.

6. a. Calculer les coordonnées du point E tel que I soit le milieu de [BE].

b. Quelle est la nature du quadrilatère A BCE ? Justifier.

II. S ur la f igur e c i- co nt r e, A BC est un triangle isocèle rectangle en B.

On s e p la ce da ns le re pè re (B A C) . D est le point de coordonnées (5 5) dans ce repère.

1. Quelle est la nature du repère ? Justifier.

2. Lire les coordonnées du point E dans ce repère.

3. D appartient-il à la médiatrice du segment [AC] ? Justifier.

III. EFG est un triangle rectangle en E. [EK] est la hauteur issue de E.

M est un point quelconque de la droite (FG) et La parallèle à (EF) passant par M coupe (EK) en L.

1. Que représente le point L pour le triangle EMG ? Le prouver.

2. Que peut-on alors dire des droites (LG) et (E M) ? Le prouver.

IV. 1. Développer en utilisant les identités remarquables : A (2x 1)²

B (x 3 ) (x 3) C ( 1 3 )

²

2. Calculer sans poser d opération et en détaillant les calculs : C 2001 1999.

V. On donne la figure ci-dessous. On a de plus AC 50 et BC 5.

Le point C appartient- il à la tangente au cercle en B ?

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CORRECTION DU CONTRÔLE N°2 seconde 6 I.

1. 2. BC (7 1)

²

(6 8)

²

40 .

3. AB BC 40 donc le triangle A BC est isocèle en B.

AC² ( 80 )

²

80 D’a utre pa rt, A B² BC² ( 70 )

²

( 40 )

²

40 4 0 80 AB² BC² AC² donc, d après la réciproque du th de Pythagore, A BC est rectangle en B.

Ainsi, le triangle ABC est isocèle rectangle en B.

4. I est le milieu de [AC].

x

I

x

A

x

C

2 1 7 2 3 et y

I

y

A

y

C

2 2 6

2 4

Ainsi, I(3 4).

5. a. ABC est rectangle en B. Or, dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l hypoténuse. Le centre du ce rcle circonscrit au triangle ABC est donc le point I (milieu de [AC]).

Le rayon de ce cercle est IA ( 1 3)

²

(2 4)

²

20 Remarque : Le rayon du cercle est aussi AC

2 80

2 ( 16 5 )

2 4 5

2 2 5 . b. I D (1 3)

²

(0 4)

²

20 et IC IA 20 I D IC donc D est un point du cercle de centre I passant par C.

c. D après la question a, les points A, B et C appartiennent au cercle de centre I et de rayon 20 . D après la question b, le point D appartient aussi à ce cercle.

Ainsi, les points A,B,C et C sont cocycliques.

6. a. I est le milieu de [BE] donc x

I

x

B

x

E

2 et y

I

y

B

y

E

2 donc 3 1 x

E

2 et 4 8 y

E

2 donc 6 1 x

E

et 8 8 y

E

donc 5 x

E

et 0 y

E

On a donc E(5 0)

b. I est le milieu de [AC] et de [BE] : les diagonales de A BCE ont le même milieu I donc ABCE est un parallélogramme.

De plus, le triangle A BC est rectangle en B donc A BCE est un rectangle.

Enfin, A BC est isocèle en B donc ABCE est un carré.

II. 1. ABC est rectangle en B donc le repère est orthogonal.

De p lus , A BC est isocèle en B donc BA BC. Le repère (B A C) est donc orthonormal.

2. D après le graphique, E(1,5 2).

3. On a D(5 5) ; A(1 0) et C(0 1).

DA (5 1)

²

(5 0)

²

41 et DC (5 0)

²

(5 1)

²

41 . DA DC : D est équidistant de A et C donc D appartient à la mé diatrice du segment [AC].

D appartient-il à la médiatrice du segment [AC] ? Justifier.

III. VOIR LE DM

(3)

1. (EK) e t (MG) sont perpendiculaires donc (EK) est une hauteur du triangle E MG.

(EF) et (ML) sont parallèles et (EF) et (EG) sont perpendiculaires.

Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Alors (M L) et (EG) sont perpendiculaires.

(M L) est donc une deuxième hauteur du triangle E MG.

Les deux hauteurs (EK) et (M L) se coupent en L donc L est l orthocentre du triangle E MG.

2. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes donc (LG) est la troisième hauteur du triangle EMG. Elle est donc perpendiculaire au côté [EM] : les droites (LG) et (E M) sont perpendiculaires.

IV. 1. Développer en utilisant les identités remarquables : A (2x 1)² (2x)² 2 2x 1 1² 4x² 4x 1 B (x 3 ) (x 3) x² 3² x² 9 C ( 1 3 )

²

1² 2 1 3 ( 3 )

²

1 2 3 3 4 2 3 2. Calculer sans poser d opération et en détaillant les calculs : C 2001 1999 (2000 1)(2000 1) 2000² 1² 4000000 1 3 999 999 VI. On a B(9 4) et C(6 8).

BC (6 9)

²

(8 4)

²

25 5

AC² 50² 50 et A B² BC² 5² 5² 50 AB² BC² AC² donc le triangle A BC est rectangle en B.

La droite (BC) est perpendiculaire au rayon [A B] donc elle est tangente au cercle en B : C appartient à la

tangente au cercle en B.

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