D660. Objectif 2019 ***
Partant d'un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c'est le centre d'un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A,B,C qui forment un triangle équilatéral de côté 6.
Q1 Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre >10 (le diamètre de l'ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q2 Montrer qu'avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre): déterminer le nombre minimum de points d'un ensemble de diamètre >2019.
PROPOSITION Th Eveilleau Q1
Nous allons partager le triangle équilatéral (ABC) en 9 petits triangles équilatéraux de côté 2..
Cela facilitera l’analyse et les calculs.
.D centre du cercle circonscrit au triangle (ABC).
.E symétrique de D par rapport à (BC) est centre du cercle circonscrit au triangle (BDC).
.F centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral (DEC).
.G centre du cercle circonscrit au triangle (EFC).
.H centre du cercle circonscrit au triangle (ADG) : H est construit avec l’intersection des deux médiatrices de [AD]et [DG]
Le triangle (HKF) est demi-équilatéral.
KF=2*2=4 KH=2*KF=2*4=8
La longueur de la projection horizontale de BH est BJ+KH = 2 + 8 =10
D’où BH >10
(car de longueur supérieure à celle de sa projection horizontale).
Les huit points A, B, C, D E, F, G et H forment un ensemble de diamètre supérieur à dix.
Q2
Notons que dans la construction ci-dessus, nous avons obtenu un triangle équilatéral KBM de côté 8.
Pour réitérer la procédure, nous allons essayer de repartir d’un nouveau triangle équilatéral plus grand (HKM).
Pour cela, il faut que les points K et M fassent partie de l’ensemble. Ce n’est pas encore le cas.
Nous pouvons adjoindre les points :
.P centre du cercle circonscrit au triangle (DFC).
.J centre du cercle circonscrit au triangle (BDF).
.Q centre du cercle circonscrit au triangle (BJE).
Et enfin, nous pouvons ajouter le point
.M centre du cercle circonscrit au triangle (PJQ).
L’ensemble des points contient maintenant 12 points : A, B, C, D E, F, G, H et P, J, Q, M
De même nous pouvons ajouter
.S centre du cercle circonscrit au triangle (BJD).
.R centre du cercle circonscrit au triangle (ADP)).
Enfin, nous pouvons ajouter à l’ensemble le point .K centre du cercle circonscrit au triangle (SDR).
L’ensemble contient finalement 15 points
A, B, C, D E, F, G, H et P, J, Q, M et S, R, K
Ces quinze points nous permettent de partir du triangle équilatéral (HKM), constitué de trois points de l’ensemble.
On a dû ajouter 12 points aux trois premiers.
En partant d’un triangle de côté 6, nous avons obtenu un triangle équilatéral (HKM) de côté 8.
Le diamètre est passé de 6 à un minimum de 10 = 6 *5/3.
Le diamètre a été multiplié par 5/3.
On réitère la procédure.
On passera de la même façon du triangle équilatéral de côté 8, à un diamètre de 8*5/3 =40/3 avec cinq nouveaux points.
On a maintenant
Diamètre 40/3 avec 15 +12 = 27 points.
Chaque étape multiplie le minimum du diamètre par 5/3.
(5/3) ^12 >459 (5/3) ^11 ~ 275.6.
Ainsi 6 * (5/3) ^11 ~ 1653.8 trop petit
Ainsi 6 * (5/3) ^12 > 2754 est plus grand que 2019.
En répétant 12 fois l’opération précédente sur chaque nouveau triangle équilatéral obtenu, on est certain d’arriver à un diamètre dépassant 2019.
Nous aurons ainsi 3 + 12*12 = 147 points.
Ce nombre 147 est bien plus petit que 400.
Ce me semble être le minimum.
En effet, il n’y aura pas de superposition de points. Le nouveau triangle équilatéral HKM, sera divisé en 9 triangles équilatéraux de côtés 8/3.
Les nouveaux points sont différents des précédents.