D233. Carrés en cascade
Solution proposée par Philippe Bertran
Soient a, b et c les affixes de A, B et C dans le plan complexe, zD, zE, etc. les affixes des autres points.
A → D par R(B, -π/2) [rotation de centre B et d’angle -π/2] donc : zD – b = -i(a – b) d’où zD = -ia + (1 + i)b
B → E par R(A, π/2) donc :
zE – a = i(b – a) d’où zE = (1 – i)a + ib C → G par R(B, π/2) donc :
zG – b = i(c – b) d’où zG = (1 – i)b + ic A → H par R(C, π/2) donc :
zH – c = i(a – c) d’où zH = ia + (1 – i)c C → I par R(A, -π/2) donc :
zI – a = -i(c – a) d’où zI = (1 +i)a – ic M milieu de BC donc :
zM = (b + c)/2
2 J milieu de BE donc :
zJ = (b + zE)/2 d’où zJ = (1 – i)a/2 + (1 + i)b/2 K milieu de CG donc :
zK = (c + zG)/2 d’où zK = (1 – i)b/2 + (1 + i)c/2 L milieu de CI donc :
zL = (c + zI)/2 d’où zL = (1 + i)a/2 + (1 – i)c/2 N milieu de DH donc :
zN = (zD + zH)/2 d’où zN = (1 + i)b/2 + (1 – i)c/2 P milieu de EI donc :
zP = (zE + zI)/2 d’où zP = a + ib/2 – ic/2
Q symétrique de N par rapport à EI donc le milieu P de EI est aussi milieu de NQ donc : zQ + zN = 2z d’où zQ = 2a – (1 – i)b/2 – (1 + i)c/2
Pour démontrer qu’un quadrilatère RSTU est un carré, il suffit de démontrer que les diagonales ont même milieu et qu’elles se déduisent l’une de l’autre par une rotation de π/2, soit : zR + zT = zS + zU et (zR – zT) = i(zS + zU) (1)
JMLP
zJ + zL = a +(1 + i)b/2 + (1 – i)c/2 = zM + zP
zL – zJ = ia – (1 + i)b/2 + (1 – i)c/2 et zP – zM = a – (1 – i)b/2 – (1 + i)c/2 d’où zL – zJ = i(zP – zM)
Les égalités (1) sont vérifiées donc JMLP est un carré.
BNCK
zK + zN = b + c
zN – zK = ib – ic = i(b – c)
Les égalités (1) sont vérifiées donc BNCK est un carré.
ENIQ
zE + zI = 2a + ib – ic = zN + zQ
zI – zE = 2ia – ib – ic et zQ – zN = 2a – b –c d’où zI – zE = i(zQ – zN) Les égalités (1) sont vérifiées donc ENIQ est un carré.
