Tableau de cours : Passage des coordonnées réelles aux affixes complexes en géométrie Géométrie dans le plan complexe : Exercices d’application directe

Tableau de cours : Passage des coordonnées réelles aux affixes complexes en géométrie

Géométrie dans le plan complexe : Exercices d’application directe

Dans chaque exercice, on placera les points dans un repère orthonormé

( )

Par exemple, pour créer un point A d’affixe 𝑧_𝐴= −3 + 2𝑖, saisir « A=-3+2i ».

Exercice 1 :

Soient 𝐴 ; 𝐵 ; 𝐶 ; 𝐷 ; 𝐸 et 𝐹 les points d’affixes respectives :

𝑧_𝐴= −3 + 2𝑖 ; 𝑧_𝐵 = 3 + 5𝑖 ; 𝑧_𝐶 = −2 − 𝑖 ; 𝑧_𝐷 = −1 − 4𝑖 ; 𝑧_𝐸 = 2 −⁵

2𝑖 ; 𝑧_𝐹= −⁷

4𝑖 ; 1) Démontrer que 𝐶 est le milieu de [𝐴𝐷], et que 𝐹 est le milieu de [𝐶𝐸].

2) Calculer les longueurs 𝐴𝐷 et 𝐶𝐸.

3) Démontrer que les droites (𝐴𝐵) et (𝐷𝐸) sont parallèles.

4) Déterminer l’affixe du point 𝑀 tel que 𝐶𝐴𝐵𝑀 soit un parallélogramme.

Exercice 2 :

1) On considère trois points 𝐴 ; 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives 𝑧_𝐴= 3 + 2𝑖 ; 𝑧_𝐵 = 4 − 3𝑖 et 𝑧_𝐶 = −2 + 2𝑖 . a) Démontrer qu’il existe un unique point 𝑀 tels que 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ et déterminer son affixe.

Pour la suite, ce point sera noté 𝐺.

b) On note 𝐼 le milieu de [𝐴𝐵]. Démontrer que 𝐼, 𝐺 et 𝐶 sont alignés.

c) On note 𝐽 et 𝐾 les milieux respectifs de [𝐵𝐶] et [𝐶𝐴].

- Démontrer que 𝐽, 𝐺, 𝐴 sont alignés.

- Que représente le point 𝐺 pour le triangle 𝐴𝐵𝐶 ? - Que peut-on en déduire pour les points 𝐾, 𝐺, 𝐵 ?

2) Reprendre les questions du 1) pour 3 points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 d’affixes quelconques 𝑧_𝐴 ; 𝑧_𝐵 et 𝑧_𝐶. Exercice 3 :

Soit ABCD un quadrilatère convexe quelconque.

Soient 𝐼, 𝐽, 𝐾, 𝐿 les milieux respectifs de [𝐴𝐵], [𝐵𝐶], [𝐶𝐷] et [𝐷𝐴].

À l’aide de la figure GeoGebra, émettre une conjecture concernant le quadrilatère 𝐼𝐽𝐾𝐿.

Démontrer cette conjecture.

vu en 2^nde Vu en T^ale Math Expertes

Propriétés sur les coordonnées réelles Propriétés sur les affixes

Si 𝑤⃗⃗ (𝑥; 𝑦) ; 𝑤′⃗⃗⃗⃗ (𝑥′; 𝑦′) et 𝑘 ∈ ℝ alors : • 𝑤⃗⃗ + 𝑤′⃗⃗⃗⃗ ( ; ) • 𝑘𝑤⃗⃗ ( ; )

Si 𝑤⃗⃗ (𝑧) ; 𝑤′⃗⃗⃗⃗ (𝑧′) et 𝑘 ∈ ℝ alors : • 𝑤⃗⃗ + 𝑤′⃗⃗⃗⃗ ( ) • 𝑘𝑤⃗⃗ ( ) Si 𝐴(𝑥_𝐴; 𝑦_𝐴) ;𝐵(𝑥_𝐵; 𝑦_𝐵) alors :

• 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ( ; )

• Coordonnées de I milieu de [AB] : 𝐼( ; )

Si 𝐴(𝑧_𝐴) ;𝐵(𝑧_𝐵) alors : • 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

• Affixe de I milieu de [AB] : 𝐼( )

Si 𝑤⃗⃗ (𝑥; 𝑦) alors :

•La norme (ou longueur) de 𝑤⃗⃗ est ԡ𝑤⃗⃗ ԡ.

ԡ𝑤⃗⃗ ԡ² =

Si 𝑤⃗⃗ (𝑧) alors :

• ԡ𝑤⃗⃗ ԡ²=

PointsOpérations sur les vecteursNorme d’un vecteur