EXERCICE 2 (5 points )
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O, − → u , − → v ). On prendra pour unité graphique 2 cm.
1) Résoudre dans C l’équation :.
(z − 2i)(z
2− 2z + 2) = 0.
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (justifier les réponses).
2) Soient A et B les points d’affixes respectives z
A= 1 + i et z
B= 2i. A tout nombre complexe z différent de z
A, on associe le complexe
z
′= z − 2i z − 1 − i .
a) Soit (E) l’ensemble des points M d’affixes z tels que z
′soit imaginaire pur.
Montrer que B ∈ (E).
Déterminer et construire l’ensemble ( E ).
3) Soit R la rotation de centre Ω
3
2 ; 5 2
et d’angle π 2 .
a) Calculer l’affixe du point B
′, image de B par R et l’affixe du point I
′, image par R du point I
1
2 ; 3 2
.
b) Quelles sont les images de ( E ) et ( F ) par R ?
3
EXERCICE 2
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1. On noteS l’ensemble des solutions de l’équation proposée.
Soitzun nombre complexe.(z−2i)(z2−2z+2) =0⇔z−2i=0ouz2−2z+2=0.
Calculons le discriminant de l’équationz2−2z+2=0.∆= (−2)2−4×2= −4= (2i)2. L’équationz2−2z+2=0admet deux solutions non réelles conjuguées à savoirz1= 2+2i
2 =1+ietz2=z1=1−i. Finalement,
S ={2i, 1+i, 1−i}.
Ensuite,2i=2(0+1×i) =2 cosπ
2
+isinπ 2
=2eiπ2. Puis
1+i=√ 2
1
√2 +i 1
√2
=√ 2
cosπ 4
+isinπ 4
=2eiπ4
et1−i=2eiπ4 =2e−iπ4. Finalement
2i=2eiπ2,1+i=2eiπ4 et1−i=2e−iπ4.
2. a.Si z=zB =2i, alorsz′ =0. Comme0 est un imaginaire pur, B∈(E).
Soit maintenantMun point du plan distinct deAet deB. On notezl’affixe deMde sorte que z6=zA etz6=zB.
M∈(E)⇔ z−2i
z− (1+i) est imaginaire pur⇔ z−zB
z−zA
est imaginaire pur
⇔arg
z−zB
z−zA
= π
2 àkπprès, k∈Z(carz6=zB)
⇔ −−→
AM,−−→ BM
= π
2 àkπprès, k∈Z
⇔Mappartient au cercle de diamètre[AB] (privé deAet deB).
En résumé, pour tout pointMdu plan,Mest dans(E)si et seulement si ou bienM=Bou bienMappartient au cercle de diamètre[AB] privé deAet de B. L’ensemble(E)est donc le cercle de diamètre[AB] privé deA.
(E)est le cercle de diamètre[AB] privé du pointA.
Voir figure à la fin de l’exercice.
b.Le pointAn’appartient pas à (F).
Soit maintenantMun point du plan distinct deA. On notezl’affixe deMde sorte que z6=zA.
M∈(F)⇔
z−2i z−1−i
=1⇔ |z−2i|
|z− (1+i)| =1
⇔ MB
MA =1⇔MA=MB
⇔Mappartient à la médiatrice du segment[AB].
Ainsi,(F)est la médiatrice de[AB]privée du pointA. CommeAn’est pas sur cette médiatrice, (F)est la médiatrice du segment[AB].
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3. a.L’expression complexe de la rotationRde centreΩet d’angle π 2 est z′=zΩ+eiπ2(z−zΩ) = 3
2+ 5
2i+i(z−3 2 −5
2i) =iz+4+i.
Donc
zB′ =i(2i) +4+i=2+i etzI′ =i(1 2 +3
2i) +4+i= 5 2+3
2i.
B′(2, 1)etI′(5 2,3
2).
b.Iest le milieu du segment[AB].(E)est donc le cercle de centreIpassant parBet privé deA. On en déduit queR((E)) est le cercle de centreR(I) =I′ passant par R(B) =B′ et privé deR(A) =A′.
Ensuite
AΩ=
3 2 +5
2i
− (1+i)
= 1 2 +3
2i
= s
1 2
2 +
3 2
2
et
BΩ=
3 2 +5
2i
− (2i)
= 3 2 +1
2i
= s
1 2
2 +
3 2
2 .
Donc AΩ = BΩ. Ainsi, le point Ω est sur la médiatrice du segment [AB]. Comme le point I est également sur cette médiatrice, l’ensemble(F)est la droite(ΩI). Mais alors,R((F))est la droite(R(Ω)R(I))ou encore la droite(ΩI′).
R((E))est le cercle de centreI′ passant par B′ et privé deA′ etR((F))est la droite(ΩI′).
1 2 3
−1
1 2 b
b b
b b
b
B b
A (F)
(E) ()
() Ω
B′
A′
I′ I
R((E))
R((F))
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