EXERCICE 4 (5 points )
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O, − → u , → − v ). Unité graphique : 0,5cm.
On note j le nombre complexe e
i2π3.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8, b = 6 j et c = 8 j
2. Soit A
′l’image de B par la rotation de centre C et d’angle π
3 . Soit B
′l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π
3 . Soit C
′l’image de A par la rotation de centre B et d’angle π
3 . 1) Placer les points A, B, C, A
′, B
′et C
′dans le repère donné.
2) On appelle a
′, b
′et c
′les affixes respectives des points A
′, B
′et C
′. a) Calculer a
′. On vérifiera que a
′est un nombre réel.
b) Montrer que b
′= e
−iπ3. En déduire que O est un point de la droite ( BB
′).
c) On admet que c
′= 7 + 7i √ 3.
Montrer que les droites ( AA
′), ( BB
′) et CC
′) sont concourantes en O.
3) On se propose désormais de montrer que la distance M A + M B + M C est minimale lorsque M = O.
a) Calculer la distance OA + OB + OC.
b) Montrer que j
3= 1 et que 1 + j + j
2= 0.
c) On considère un point M d’affixe z du plan complexe.
On rappelle que a = 8, b = 6 j et c = 8 j
2.
Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :
| ( a − z ) + ( b − z ) j
2+ ( c − z ) j | = | a + bj
2+ cj | = 22.
d) On admet que, quels que soient les nombres complexes z, z
′et z
′′:
| z + z
′+ z
′′| ≤ | z | + | z
′| + | z
′′| . Montrer que M A + M B + M C est minimale lorsque M = O.
6
EXERCICE 4
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1.On a A(8, 0), puisb=6j=6e2iπ/3 =6
cos2π
3 +isin2π 3
=6 −1 2+i
√3 2
!
= −3+3i√
3 et doncB(−3, 3√ 3).
Enfinc=8j2=8(e2iπ/3)2=8e4iπ/3 =8 −1 2 −i
√3 2
!
= −4+4i√
3et doncC(−4, 4√ 3).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
−13
−14
−15
−16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
−13
−14
b b
b b
b b
A A′
B
B′ C
C′
2. a. Soient θ un réel et Ωun point dont l’affixe est notée ω. Soitr la rotation de centreΩ et d’angleθ. On sait que l’expression complexe der est
z′ =ω+eiθ(z−ω).
Donc
a′=c+eiπ/3(b−c) =8e4iπ/3+eiπ/3(6e2iπ/3−8e4iπ/3) =8e4iπ/3+6eiπ−8e5iπ/3
=8 −1 2−i
√3 2
!
−6−8 1 2−i
√3 2
!
= −14.
a′= −14ou encoreA′(−14, 0).
http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.
b.De même,
b′=a+eiπ/3(c−a) =8+eiπ/3(8e4iπ/3−8) =8+8e5iπ/3−8eiπ/3
=8+8 1 2−i
√3 2
!
−8 1 2 +i
√3 2
!
=8(1−i√
3) =16 1 2 −i
√3 2
!
=16 cos
−π 3
+isin
−π 3
=16e−iπ/3.
b′=16e−iπ/3 ou encoreB′(8,−8√ 3).
c.On a a′ = −14= −14
8 .8= −7
4aou encore−−→ OA′ = −7
4
−−→
OA. Donc les vecteurs−−→
OAet−−→
OA′ sont colinéaires ou encore, le pointOappartient à la droite(AA′).
b′=16e−iπ/3=16e2iπ/3−iπ=16e2iπ/3e−iπ= −16e2iπ/3 = −16
6 .6e2iπ/3= −8
3b. Donc le pointOappartient à la droite (BB′).
c′ =7+7i√
3=14eiπ/3=14e4iπ/3−iπ= −14e4iπ/3= −14
8 .8e4iπ/3= −7
4c. Donc le pointOappartient à la droite(CC′).
Les droites(AA′), (BB′)et (CC′)sont concourantes en O.
3. a.OA+OB+OC=|a|+|b|+|c|=|8|+
6e2iπ/3 +
8e4iπ/3
=8+6+8=22.
OA+OB+OC=22.
b.j3= e2iπ/33
=e3.2iπ3 =e2iπ=cos(2π) +isin(2π) =1et d’autre part,
1+j+j2=1+ −1 2 +i
√3 2
! + −1
2 −i
√3 2
!
=0.
j3=1 et1+j+j2=0.
c.Soitzun nombre complexe. Puisque1+j+j2=0, on a
|(a−z) + (b−z)j2+ (c−z)j|=|a+bj2+cj− (1+j+j2)z|=|a+bj2+cj|
=|8+6j3+8j3|=|8+6+8|(carj3=1)
=22.
Pour tout nombre complexez,|(a−z) + (b−z)j2+ (c−z)j|=|a+bj2+cj|=22.
d.SoitMun point du plan. On notezson affixe. Comme|j|=|j2|=1, on a
|(a−z) + (b−z)j2+ (c−z)j|≤|a−z|+|(b−z)j2|+|(c−z)j|=|a−z|+|b−z|×|j2|+|c−z|×|j|=
|a−z|+|b−z|+|c−z|=MA+MB+MC.
Mais d’après la question précédente,|(a−z) + (b−z)j2+ (c−z)j|=22et on a donc montré que pour tout pointMdu plan,MA+MB+MC≥22.
Comme d’autre part, d’après la question a., on aOA+OB+OC=22, l’inégalité précédente est une égalité quandM=O.
Donc
MA+MB+MCest minimale lorsqueM=O.
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