EXERCICE 1 (4 points ) (Commun à tous les candidats)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O,−→u ,−→v )direct d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’affixes respectives zA = 1 et zB = 3 + 4i. Soit C et D les points d’affixes respectiveszC = 2√
3 +i!
−2−√ 3"
etzD =−2√
3 +i!√
3−2"
.
L’objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des pointsDetC.
1. a.Montrer que l’image du pointB par la rotation de centreAet d’angle 2π
3 est le pointD.
b.En déduire que les pointsBetDsont sur un cercle(C)de centreAdont on déterminera le rayon.
2. SoitF l’image du pointApar l’homothétie de centreB et de rapport3 2. a.Montrer que l’affixezF du pointF est−2i.
b.Montrer que le pointF est le milieu du segment[CD].
c.Montrer que zC −zF
zA−zF
=−i√
3. En déduire la forme exponentielle de zC −zF
zA−zF
.
Déduire des questions précédentes que la droite(AF)est la médiatrice du segment[CD].
3. Proposer un programme de construction pour les pointsDetC à partir des pointsA,B etF et réaliser la figure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évalua- tion.
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