Exercice 1 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( o ,

4 TECH : 1 DEVOIR DE CONTROLE N° 1

LE : 09/11 / 2015

PROF : Karmous Abdelhamid

Exercice 1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( o , 𝑢 ⃗⃗⃗ , 𝑣 ⃗⃗⃗ ) . On donne les points A,B,C et I d’affixes respectives : ZA = - 2i , ZB = 1 + i , ZC = 4 + 2i et ZI = 2 .

1) a/ Placer les points A,B,C et I

b/ Montrer que I est le milieu du segment [𝐴𝐶]

2) Montrer que le triangle ABC est isocèle en B 3) Soit D le symétrique de B par rapport a I

a/ Déterminer l’affixe de D

b/Montrer que le quadrilatère ABCD est un losange .

Exercice N°2

Soit f la fonction f définie sur IR par f(x) = 1+ √𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥+1 si x ≥ 0 f(x) = ^{2 ( √𝑥2}_𝑥²^{+1 −1 )} si x < 0

1) Montrer que f est continue en 0

2) a/ Montrer que pour tout x ≥ 0 on a : ^{1 − √𝑥}_𝑥+1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ^{1 + √𝑥}_𝑥+1 b/ Calculer alors lim_𝑥→+∞𝑓(𝑥) . Interpréter graphiquement le résultat . 3) Calculer lim_{𝑥→−∞}𝑓(𝑥) . Interpréter graphiquement le résultat .

4) a/ montrer que l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution 𝛼 dans ] ^𝜋₂ , 𝜋[

b/ Montrer que : cos 𝛼 = - ¹

√𝛼

5) Soit g la fonction définie sur [0 , + ∞[ par g(x) = 3x + √𝑥² + 1

Montrer que la courbe représentative de g admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ que l’on précisera .

Exercice 3

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé ( O , 𝑢⃗ , 𝑣 ⃗⃗⃗ ) Soient les nombres complexes : z1 = - √2 + i√2 et z2 =- √2 - i√2

1) Mettre z1 et z2 sous forme exponentielle

2) Placer alors les points A , B et C d’affixes respectives : 2 , z1 et z2

3) Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I milieu de [𝐴𝐵]

4) Calculer la distance OI et une mesure de l’angle orienté ( 𝑢⃗ , 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ )

5) Donner alors ZI l’ affixe du point I sous forme trigonométrique et déduire les valeurs de cos( ^3𝜋₈) et sin(^3𝜋₈)

Exercice 4

Dans la figure ci-dessous Γ est la representation graphique d’une fonction f définie et continue sur IR ∖{ 1}

On sait que la droite ∆ d’équation y = - x + 1 est une asymptote a Γ au voisinage de - ∞. Γ admet deux autres asymptotes d’équations respectives : x = 1 et y = 1

1) Utiliser le graphique pour :

a/ Donner Le tableau de variation de f . ( on demande les limites aux bornes et le signe de f’(x) ).

b) Calculer les limites suivantes : lim_{𝑥→−∞}𝑓(𝑥) , lim_𝑥→+∞𝑓(𝑥) , lim_{𝑥→−∞}^𝑓(𝑥)

𝑥 , lim_𝑥→0𝑓(¹

𝑥) lim_{𝑥→−∞}(𝑓(𝑥) + 𝑥 ) et lim_𝑥→+∞𝑓( ¹_𝑥 ) .

2) Déterminer le nombre de solutions dans IR ∖{ 1} de chacune des équations : f(x) =3 et f(x) = 0 3) Soit g la fonction définie sur IR ∖{ 1} par g (x) = f o f (x) = f ( f(x))

Calculer g(0) , g(2) , lim_{𝑥→−∞}𝑔(𝑥) , lim_𝑥→+∞𝑔(𝑥) et lim_𝑥→1𝑔(𝑥)