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TS – Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 (Thème : les complexes) [ 3,5 points]
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; ⃗u ; ⃗v) . On considère les points A d'affixe i, B d'affixe -¤i et D d'affixe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ABE soit équilatéral direct (c'est à dire que, si on tourne autour du triangle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, les points apparaissent dans cet ordre).
Soit f l'application qui à tout point M d'affixe z (z ≠ i), associe le point M' d'affixe
z' définie par :
z'=/f{#1z –i;iz + 1}.
1. [1] Démontrer que le point E a pour affixe /calc{#1+1}/f{/rc{3};2} – /f{/calc{#1-1};2}i (On pourra utiliser le fait que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a a pour longueur /f{/rc{3};2}a.)
2. [1] Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D', image du point D par l'application f.
3. a. [1] Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i,
(z' + #1i)(z – i) = /calc{#1-1}
b. [0.5] En déduire que, pour tout point M d'affixe z (z ≠i),
BM' × AM=/calc{#1-1}.
Exercice n°2 (Thème : fonctions) [12 points]
Partie A : Restitution Organisée de Connaissance
[1] On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de f(u(x)), ainsi que ses conditions d'utilisation.
On suppose aussi que la fonction ln est dérivable sur ]0;+ ∞[ et que, pour tout x
de ]0;+ ∞[ , on a : exp(ln(x))=x.
À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0;+ ∞[ qui à x associe /f{1;x}.
Partie B – Étude de fonction
On considère la fonction f définie sur ]0;+ ∞[ par f(x)=µx + /f{§[lnx]§;x}. Le but du problème est l'étude de cette fonction et le calcul d'une aire.
On note c la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; ⃗u ; ⃗v ) d'unité graphique 3 cm.
I) É tude d'une fonction auxiliaire.
On considère la fonction g définie sur ]0;+ ∞[ par g(x)=#3x2 + 1 –lnx. 1/2
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1. [2] Étudier les variations de g sur ]0;+ ∞[ . 2. [0.5] En déduire le signe de g sur ]0;+ ∞[ .
II) É tude de f
1. [1,5] Déterminer la limite en 0+ de la fonction f. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ?
2. [1,5] Déterminer la limite en + ∞ de f. Que peut-on dire de /lim{x;+infinity;f(x) – #3x} ?Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ?
3. [1] Calculer f '(x).
4. [1] En déduire le sens de variation de f sur ]0;+ ∞[.
5. [1] Déterminer le point A de c en lequel la tangente t est parallèle à la droite d'équation y=#3x.
III) Calcul d'une aire.
1. [1] Soit h la fonction définie sur ]0;+ ∞[ par h(x)=(ln(x))² . Calculer la dérivée de h.
2. [1] En déduire /int{1;e ;/f{ln x;x}dx}
3. [0.5] Quelle aire utilisant la courbe c peut-on déduire de ce résultat ?
Exercice n°3 (Thème : suites) [7 points]
On considère la suite de nombres réels (un) définie sur N par :
u0= –µ, u1=/f{1;¤} et, pour tout entier naturel n plus grand que 1, un+2=un+1 –/f{1;4}un.
1. [1] Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : vn= un+1 – /f{1;2}un .
a. [0.5] Calculer v0.
b. [1] Exprimer vn+1en fonction de vn .
c. [1] En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison /f{1;2}. d. [1] Exprimer vn en fonction de n.
3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : wn
=/f{§[u_n]§;§[v_n]§}. a. [0.5] Calculer w0
b. [1] En utilisant l'égalité un+1=vn+ /f{1;2}un, exprimer wn+1en fonction de un et vn, puis en déduire que wn+1=wn+2.
c. [1] Exprimer wn en fonction de n et en déduire l'expression de un en fonction de n.
Exercice n°4 – 1 pt.
L est une loi uniforme sur $[0;µ]$.
1. Calculer P(X</al{1;/calc{#5-1}}).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°5 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
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